Il raffreddamento laser o anche raffreddamento a effetto doppler è una tecnica sperimentale che viene utilizzata per raffreddare un gas di atomi fino a temperature molto basse. Sembra controintuivo, ma è possibile. Vediamo come.
Atomo e laser
Il nostro atomo è descritto come nel modello di Rabi, di cui abbiamo già parlato. In pratica è un sistema a due livelli, uno stato fondamentale $f$ e uno stato eccitato $e$, separati da un’energia $\hbar \omega_0$.
Il laser emette una serie di fotoni ad una frequenza specifica, $\omega_L$. L’atomo può assorbire fotoni con una certa probabilità in relazione alla frequenza del laser: se $\omega_L$ è molto simile a $\omega_0$ il fotone sarà assorbito (con buona probabilità), mentre se $\omega_L$ è molto diversa da $\omega_0$ l’atomo e il fotone in pratica non interagiscono e si dice che l’atomo è trasparente a quella frequenza. Pertanto scegliamo $\omega_L$ leggermente più piccola di $\omega_0$. Vedremo che questa scelta porta al raffreddamento, mentre la scelta opposta porta al riscaldamento. Chiamiamo $\Delta = \omega_L-\omega_0$. Per cui $\Delta$ è negativa e molto piccola.
Il meccanismo
L’idea è la seguente. Per adesso il laser proviene da una sola direzione specifica. Supponiamo che un atomo si muova direttamente contro il laser. Se così non fosse lo stesso ragionamento si applica alla componente di velocità diretta contro il laser. Quando e se un atomo assorbe un fotone proveniente dal laser, dopo un po’ lo riemetterà in una direzione a caso. Dopo molti eventi di assorbimento/emissione la somma di queste direzioni a caso sarà nulla e quindi l’unico effetto rilevante sarà il cambiamento in impulso dovuto all’assorbimento dei fotoni: poiché l’atomo ha direzione contro il laser, i fotoni hanno momento opposto a quello dell’atomo e quindi per la conservazione della quantità di moto ad ogni evento l’atomo andrà sempre più piano.
Chiaramente l’effetto opposto si applica agli atomi che vanno nella stessa direzione del laser: dopo molti eventi avranno ricevuto ogni volta una botta dal laser che li fa andare più veloci. Per questo ci serve un meccanismo per cui solo gli atomi che si muovono contro il laser assorbono fotoni.
Se riuscissimo a trovare un meccanismo del genere, gli atomi che si muovono contro il laser assorbono i fotoni e vengono rallentati, mentre quelli che si muovono nella stessa direzione del laser non hanno nessun effetto. Pertanto in media gli atomi si raffreddano. Il meccanismo che ci serve è l’effetto Doppler. Supponiamo che l’atomo si muova con velocità $\vec{v}$. Poniamoci nel sistema di riferimento dell’atomo. Per effetto Doppler, la frequenza del laser sarà spostata e diventerà $\omega_L’ = \omega_L -\vec{k}_L \cdot \vec{v}$ dove $\vec{k}_L$ è il momento del fotone. Abbiamo detto sopra che abbiamo scelto $\omega_L$ leggermente inferiore a $\omega_0$. Ora se $\vec{k}_L$ e $\vec{v}$ vanno nella stessa direzione, $\vec{k}_L \cdot \vec{v}>0$ e quindi $\omega_L’$ sarà più bassa di $\omega_L$, che già era più bassa di $\omega_0$: per cui per gli atomi che vanno nella stessa direzione del laser la frequenza è troppo lontana da $\omega_0$ e non ci sarà assorbimento. Invece per gli atomi che vanno contro il laser $\vec{k}_L \cdot \vec{v}<0$ e quindi se $\omega_L$ iniziale è stata scelta bene avremo $\omega_L’ \approx \omega_0$ e quindi avviene l’assorbimento.
Questo è il meccanismo fondamentale. Nella pratica dovremo cambiare $\omega_L$ nel corso dell’esperimento per far sì che sia sempre al punto giusto per far assorbire fotoni agli atomi più rapidi. Inoltre utilizzeremo due laser per ogni direzione in modo tale da ridurre la velocità degli atomi che vanno in entrambi i versi in ognuna delle direzioni.
Ricordiamo che la temperatura è una misura dell’energia cinetica media, e quindi in questo caso diminuendo la velocità diminuiamo l’energia cinetica media e di conseguenza la temperatura.
Descrizione matematica
Per semplicità prendiamo in considerazione una sola direzione, con due laser uno contro l’altro in maniera da diminuire la velocità degli atomi che vanno in entrambi i versi.
Lo stato eccitato decade ad un tasso $\Gamma$, ovvero ha una vita media di $1/\Gamma$. Il tasso di sparpagliamento (scattering) dei fotoni è
$$R = \Gamma \rho_{ee}$$
dove $\rho_{ee}$ è la frazione di atomi nello stato eccitato. Nel modello di Rabi, è data da
$$\rho_{ee} = \frac12 \frac{\Omega^2/2}{\Omega^2/2+\Delta^2+(\Gamma/2)^2}$$
dove $\Delta$ è stato definito sopra e $\Omega$ è la frequenza di Rabi (che è proporzionale al campo elettrico applicato). In particolare abbiamo quindi
$$\frac{\Omega^2/2}{\Gamma^2/4}=\frac{I}{I_S}$$
dove $I$ è l’intensità del laser (proporzionale al quadrato del campo elettrico) e $I_S$ è detta intensità di saturazione. In pratica per $I \gg I_S$ abbiamo $\Delta = 0$ e $\rho_{ee} = 1/2$. Inoltre la forza effettiva sugli atomi dovuta al processo di assorbimento/emissione è data dal tasso di eventi moltiplicato per la velocità acquisita a causa dell’evento, cioè
$$F = \frac{\hbar k_L}{m} R$$
Per uno dei due laser l’effetto Doppler dà $\Delta \to \Delta -k_L v$, quindi in totale la forza dovuta a questo laser sarà
$$F_+ = \frac{\Gamma}{2} \frac{\hbar k_L}{m} \frac{I/I_S}{1+I/I_S+4(\Delta-k_L v)^2/\Gamma^2}$$
L’altro laser è uguale al primo, ma va in direzione opposta per cui basta mandare $k_L \to -k_L$:
$$F_- = -\frac{\Gamma}{2} \frac{\hbar k_L}{m} \frac{I/I_S}{1+I/I_S+4(\Delta+k_L v)^2/\Gamma^2}$$
In linea di principio non è possibile sommare queste due forze perché la popolazione eccitata dai due laser insieme non è la somma delle popolazioni eccitate dai due singoli laser. Tuttavia non commettiamo un grave errore nel caso in cui le popolazioni eccitate siano molto piccole, cioè nel limite in cui $I \ll I_S$. In questo caso otteniamo:
$$F = F_+ +F_- = \frac{\Gamma}{2} \frac{\hbar k_L}{m}\frac{I}{I_S}\frac{16\Delta k_L v/\Gamma^2}{1+ 8(\Delta^2+k_L^2 v^2)/\Gamma^2 + 16(\Delta^2-k_L^2 v^2)^2/\Gamma^4}+\mathcal{O}(I/I_S)^2$$
Pertanto se $\Delta < 0$ allora $F=-\alpha v$, cioè agisce come una forza viscosa che tende a rallentare gli atomi.
Limitazioni
La tecnica del raffreddamento laser ha alcune limitazioni.
In primo luogo non è possibile portare la velocità del singolo atomo sotto alla velocità di un fotone: pertanto non possiamo raggiungere temperature più basse di $\frac{1}{k_B} \frac{(\hbar k_L)^2}{2m}$. Tuttavia il limite pratico è dovuto ad un altro effetto molto più rilevante.
Nel processo di emissione spontanea in media la velocità dei fotoni emessi è nulla. Tuttavia l’energia cinetica è la media del quadrato delle velocità, e per un processo casuale la cui media è nulla non è detto che la media dei quadrati (cioè la varianza, se la media è zero) sia essa stessa nulla. Ciò conduce ad un riscaldamento degli atomi che pone un limite inferiore alle temperature raggiungibili con questa tecnica.