Abbiamo visto alcuni semplici metodi per generare integrali difficili e anche un teorema utile per risolvere alcuni integrali. Oggi vediamo un altro sorprendente teorema per gli integrali definiti, il teorema di Frullani. L’affermazione è la seguente:
$$\boxed{\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = (f(\infty)-f(0))\log{\frac{a}{b}}}$$
Questo purché i limiti di $f$ esistano. In realtà le condizioni di validità del teorema sono abbastanza complicate: una discussione precisa la trovate qui. La dimostrazione euristica si basa sull’osservazione che
$$\frac{f(ax)-f(bx)}{x}=\int_b^a f'(x t) dt$$
per cui
$$\begin{align*}
\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx &= \int_0^\infty \int_b^a f'(x t) \,dt\, dx=\\
&=\int_b^a \int_0^\infty f'(x t) \,dx\, dt=\\
&=\int_b^a \frac{1}{t} (f(\infty)-f(0)) dt=(f(\infty)-f(0))\log{\frac{a}{b}}
\end{align*}$$
Il passo dove bisogna stare attenti è quello in cui si scambiano i due integrali, che non è sempre operazione lecita.
Un esempio di applicazione di questo teorema è il seguente:
$$\int_0^\infty \frac{\arctan(ax)-\arctan(bx)}{x}dx = \frac{\pi}{2}\log{\frac{a}{b}}$$
Oppure anche:
$$\int_0^\infty \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx = \log{\frac{b}{a}}$$
Inoltre utilizzando le formule di prostaferesi abbiamo anche
$$\int_0^\infty \frac{\sin(ax)\sin(bx)}{x}dx = \frac{1}{2}\log{\frac{a+b}{a-b}}$$
Possiamo anche generare degli integrali orribili. Partendo da
$$\int_0^\infty \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx = \log{\frac{b}{a}}$$
Possiamo effettuare la sostituzione $x = -\log{y}$ per ottenere
$$\int_0^1 \frac{y^{a-1}-y^{b-1}}{\log{y}}dy = -\log{\frac{b}{a}}$$
Da cui ad esempio:
$$\int_0^\infty \frac{y-1}{\log{y}}dy = \log{2}$$