Abbiamo visto in un precedente articolo la versione quantistica del modello di Ising in una dimensione, data dall’Hamiltoniana
$$H = -J \sum_{i} \sigma_i^z \sigma_{i+1}^z-B \sum_i \sigma_i^x$$
Tramite un metodo variazionale abbiamo trovato che il modello mostra una transizione di fase quantistica. Tuttavia, possiamo anche risolverlo esattamente tramite la cosiddetta trasformazione di Jordan-Wigner. Vediamo come.
La trasformazione di Jordan-Wigner
Prima di tutto definiamo i soliti operatori di innalzamento e abbassamento,
$$\sigma_i^{\pm}= \frac{1}{2} \pqty{\sigma_i^{x}\pm i\sigma_i^{y}}$$
Questi commutano in siti diversi (cioè per $i \neq j$) e inoltre soddisfano le seguenti relazioni:
$$(\sigma_i^{+})^2= (\sigma_i^{-})^2 =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\{\sigma_i^-,\sigma_i^+\}=1$$
Su un singolo sito $i$ gli $\sigma_i^{\pm}$ soddisfano relazioni di anticommutazione, e quindi sono fermionici. Tuttavia, commutano in siti diversi, e non anticommutano come ci aspetteremmo per operatori fermionici. Per ottenere dei veri operatori di creazione e distruzione fermionici $c_i, c_i^\dagger$ definiamo la trasformazione di Jordan-Wigner,
$$\boxed{c_i \equiv \pqty{\prod_{j < i} \sigma_j^z}\sigma_i^+ \\
c_i^\dagger \equiv \pqty{\prod_{j < i} \sigma_j^z}\sigma_i^-}$$
I prefattori $A_i = \prod_{j < i} \sigma_j^z$ sono Hermitiani $A_i^\dagger = A_i$, unitari $A_i^\dagger A_i = 1$ e idempotenti $(A_i)^2=1$; inoltre $A_i$ e $A_j$ commutano per ogni $i,j$. La presenza dei prefattori sistema le relazioni di anticommutazione.
Dimostriamo che i $c_i, c_i^\dagger$ soddisfano davvero le relazioni di anticommutazione appropriate. Abbiamo
$$\{c_i, c_i\} =2 A_i \sigma_i^+ A_i \sigma_i^+ =2 A_i^2 (\sigma_i^+)^2 = 0$$
dove $A_i$ contiene solo termini dei siti $j < i$ e quindi commuta con $\sigma_i^+$. Poiché $(\sigma_i^z)^2 = \mathbb{1}$, allora $A_i^2= \mathbb{1}$; abbiamo visto prima che $(\sigma_i^+)^2 = 0$.
Per $i \neq j$ possiamo scegliere $i > j$ senza perdita di generalità, e abbiamo
$$\begin{align*}
\{c_i, c_j\} &= \{A_i\sigma_i^+, A_j\sigma_j^+\} = \\
&=A_i\sigma_i^+A_j\sigma_j^+ + A_j\sigma_j^+ A_i\sigma_i^+=\\
&=A_i A_j \sigma_i^+\sigma_j^+ + A_j\pqty{ A_i\sigma_j^++[\sigma_j^+, A_i]}\sigma_i^+=\\
&=2A_i A_j \sigma_i^+\sigma_j^+ + A_j [\sigma_j^+, A_i]\sigma_i^+
\end{align*}$$
Andando dalla seconda alla terza riga abbiamo usato il fatto che $A_j$ e $\sigma_i^+$ commutano poiché $i > j$. Possiamo quindi calcolare il commutatore,
$$[\sigma_j^+, A_i] = \pqty{\prod_{k < i, k \neq j} \sigma_k^z} [\sigma_j^+, \sigma_j^z] = \pqty{\prod_{k < i, k \neq j} \sigma_k^z}(-2 \sigma_j^+)=\\
=\pqty{\prod_{k < i, k \neq j} \sigma_k^z}(-2\sigma_j^z \sigma_j^+)=-2 A_i \sigma_j^+$$
dove abbiamo usato il fatto che $\sigma_i^z \sigma_i^+= \sigma_i^+$. Il termine che abbiamo ottenuto è precisamente ciò che serve per far sì che $\{c_i, c_j\}=0$. Con le stesse tecniche otteniamo le seguenti relazioni:
$$\{c_i, c_j\}=\{c_i^\dagger, c_j^\dagger\}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\{c_i, c_j^\dagger\}=\delta_{ij}$$
Per effettuare la trasformazione esplicitamente è comodo invertirla,
$$ \sigma_i^+ = \pqty{\prod_{j < i} (1-2 c_j^\dagger c_j)} c_i\\
\sigma_i^- = \pqty{\prod_{j < i} (1-2 c_j^\dagger c_j)} c_i^\dagger$$
Dimostrare quest’ultima non è difficile. Poiché $A_i^2 = \mathbb{1}$ allora $\sigma_i^+ = A_i c_i$. Perciò basta trovare un’espressione per $A_i$ in termini di $c_i$. Abbiamo
$$c_i^\dagger c_i = \pqty{\prod_{j < i} \sigma_j^z}\sigma_i^- \pqty{\prod_{j < i} \sigma_j^z}\sigma_i^+ = \sigma_i^- \sigma_i^+ = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Quindi
$$1-2c_i^\dagger c_i = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \sigma_i^z$$
e possiamo quindi concludere che $A_i = \prod_{j < i} \sigma_j^z = \prod_{j < i} (1-2c_j^\dagger c_j)$ come richiesto.
Soluzione di Ising quantistico 1D
Ora risolviamo esplicitamente il modello di Ising. Per effettuare i calcoli conviene effettuare una rotazione di $90^\circ$ lungo l’asse $y$ delle variabili di spin nell’Hamiltoniana, portando
$$\sigma^z \to \sigma^x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma^x \to -\sigma^z$$
ovvero in termini delle variabili fermioniche
$$\sigma_i^x = 1-2c_i^\dagger c_i\\
\sigma_i^z = -\pqty{\prod_{j < i} (1-2 c_j^\dagger c_j)} (c_i+c_i^\dagger)$$
In questa maniera il prefattore è in $\sigma^z$, che compare in coppia nell’Hamiltoniana, cosicché i due prefattori si cancelleranno a vicenda. Sostituendo nell’Hamiltoniana infatti otteniamo
$$H = -\sum_{i}\bqty{J(c_i^\dagger c_{i+1}-c_i c_{i+1}^\dagger+c_i^\dagger c_{i+1}^\dagger-c_i c_{i+1}) +B(1-2c_i^\dagger c_i)}$$
Per ottenere i segni corretti nel primo termine bisogna effettuare le commutazioni dei vari termini con attenzione. Possiamo quindi diagonalizzare l’Hamiltoniana, effettuando una trasformata di Fourier, $c_i \to \widetilde{c}_k$,
$$c_j = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_k \widetilde{c}_k e^{ikj}$$
ottenendo ad esempio
$$\sum_j c_j^\dagger c_j = \frac{1}{N}\sum_j \sum_k \sum_{k’} \widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k’} e^{i(k’-k)j}=\sum_k \sum_{k’} \widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k’} \delta(k’-k) = \sum_k \widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k}$$
Alla stessa maniera nelle somme,
$$c_j^\dagger c_{j+1} \to e^{ik} \widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k}\\
c_j c_{j+1}^\dagger \to e^{-ik} \widetilde{c}_k \widetilde{c}_{k}^\dagger\\
c_j c_{j+1} \to e^{-ik} \widetilde{c}_k \widetilde{c}_{-k}\\
c_j^\dagger c_{j+1}^\dagger \to e^{ik} \widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{-k}^\dagger$$
E quindi nello spazio dei momenti
$$H = \sum_{k}\bqty{-J(e^{ik} \widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k}-e^{-ik} \widetilde{c}_k \widetilde{c}_{k}^\dagger+e^{ik} \widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{-k}^\dagger-e^{-ik} \widetilde{c}_k \widetilde{c}_{-k}) -B(1-2\widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k})}$$
Semplificando otteniamo
$$H = \sum_{k}\bqty{2(B-J\cos{k})\widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k} -J i\sin{k} (\widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{-k}^\dagger+\widetilde{c}_k \widetilde{c}_{-k}) -B}$$
dove è nullo il termine della forma $\sum_k \cos{k} (\widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{-k}^\dagger-\widetilde{c}_k \widetilde{c}_{-k})$ dato che il coseno è simmetrico rispetto a $k \to -k$ e l’altro termine è antisimmetrico. Inoltre abbiamo anche $\sum_k e^{ik}=0$.
Possiamo quindi effettuare una trasformazione di Bogoliubov per completare la diagonalizzazione. Separiamo il primo termine nella somma di due parti identiche, poi mandiamo $k \to -k$ nella seconda di queste parti e commutiamo. Otteniamo:
$$H = \sum_{k}\bqty{(B-J\cos{k})\widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{k}+(B-J\cos{k})(1-\widetilde{c}_{-k}\widetilde{c}_{-k}^\dagger )-J i\sin{k} (\widetilde{c}_k^\dagger \widetilde{c}_{-k}^\dagger+\widetilde{c}_k \widetilde{c}_{-k}) -B}$$
Ovvero:
$$H = \sum_{k}\begin{pmatrix} \widetilde{c}_k^\dagger & \widetilde{c}_{-k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} (B-J\cos{k}) & -J i\sin{k} \\ J i\sin{k} & -(B-J\cos{k})\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \widetilde{c}_k \\ \widetilde{c}_{-k}^\dagger \end{pmatrix}$$
dove abbiamo usato di nuovo che $\sum_k e^{ik}=0$ e quindi $\sum_k \cos{k}=0$. Gli autovalori della matrice sono
$$\lambda_{\pm} = \pm \sqrt{(B-J\cos{k})^2 + J^2 \sin^2{k}}$$
Pertanto nella base dove la matrice è diagonale
$$H = \sum_{k}\begin{pmatrix} \gamma_k^\dagger & \gamma_{-k} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \lambda_+ & 0 \\ 0 & \lambda_-\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \gamma_k \\ \gamma_{-k}^\dagger \end{pmatrix}=\\
= \sum_{k} \lambda_+ \gamma_k^\dagger \gamma_k + \lambda_- \gamma_{-k} \gamma_{-k}^\dagger=\sum_{k} (\lambda_+-\lambda_-) \gamma_k^\dagger \gamma_k + \lambda_-$$
dove nell’ultimo passaggio abbiamo mandato $k\to -k$ nel secondo termine e poi commutato. Dalla diagonalizzazione esplicita possiamo verificare che
$$\gamma_k = u_k \widetilde{c}_k -i v_k \widetilde{c}_{-k}^\dagger$$
con $u_k = u_{-k}$ e $v_k = -v_{-k}$ e $\abs{u_k}^2+\abs{v_k}^2=1$, in modo che i $\gamma_k$ soddisfano tra loro relazioni di commutazione fermioniche. Quindi in definitiva otteniamo
$$H = \sum_k E(k) \pqty{\gamma_k^\dagger \gamma_k -\frac12}$$
con
$$E(k) = 2\sqrt{B^2+J^2-2BJ\cos{k}}$$
La $\gamma_k$ sono delle quasiparticelle fermioniche, cioè delle particelle fittizie che si comportano esattamente come fermioni veri e propri; lo spazio di Hilbert sarà quindi costruito dall’azione dei vari $\gamma_k$ sullo stato di vuoto. L’eccitazione di un modo $\gamma_k$ corrisponde ad una complicata eccitazione collettiva delle variabili originali.
Notiamo inoltre che in $k=0$, il divario energetico si chiude per $B/J=1$, dove abbiamo una transizione di fase quantistica, le cui caratteristiche qualitative avevamo già visto con il metodo variazionale.
La trasformazione di Jordan-Wigner funziona in genere per sistemi in una dimensione, ma non in dimensioni maggiore: infatti la formazione del prefattore richiede necessariamente di mettere un’ordine tra gli spin, cosa che è possibile solo in una dimensione.