Il modello di Ising quantistico in una dimensione descrive una catena di $N$ oggetti con spin $1/2$. Imponiamo condizioni al contorno periodiche, cosicché il sito $N+1$ è il sito $1$. Su ogni sito $i$ avremo uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}_i$ bidimensionale, spannato dai vettori $\ket{\uparrow}_i$ e $\ket{\downarrow}_i$, cioè gli autovettori della terza matrice di Pauli $\sigma_i^z$. L’Hamiltoniana è data da
$$H = -J \sum_{i} \sigma_i^z \sigma_{i+1}^z-B \sum_i \sigma_i^x$$
Il campo magnetico è trasversale agli spin, e questa è essenzialmente l’unica scelta che rende il modello veramente quantistico: se invece di $\sigma_i^x$ avessimo messo $\sigma_i^z$, tutte le variabili avrebbero commutato tra loro e con l’Hamiltoniana, dando risultati del tutto identici a quelli classici.
Sappiamo che il caso classico non ha nessuna transizione di fase. Anche nel caso quantistico non c’è nessuna transizione di fase a $T > 0$. Tuttavia, variando i parametri del sistema $J$ e $B$ a temperatura nulla $T=0$, lo stato fondamentale del sistema cambia natura, e abbiamo quella che si dice transizione di fase quantistica.
Andiamo a vedere cosa succede utilizzando un metodo variazionale per stimare lo stato fondamentale. Prendiamo come funzione d’onda di prova variazionale per lo stato fondamentale la seguente:
$$\ket{m} = \otimes_i \ket{m}_i\,\,\,\,\,\,\,\,\ket{m}_i = \sqrt{\frac{1+m}{2}} \ket{+}_i+\sqrt{\frac{1-m}{2}} \ket{-}_i$$
dove $\ket{\pm}_i$ sono i due autovettori di $\sigma_i^z$ con autovalore $\pm 1$ e $m$ è la magnetizzazione media del sistema nello stato fondamentale, infatti
$$\bra{m}\pqty{\frac{1}{N}\sum_i \sigma_i^z}\ket{m}=\frac{1}{N}\sum_i \bra{m}\sigma_i^z \ket{m} = \pqty{\sqrt{\frac{1+m}{2}}}^2-\pqty{\sqrt{\frac{1-m}{2}}}^2 = m$$
L’energia della funzione d’onda di prova è data da
$$E_0(m) = \frac{\bra{m}H\ket{m}}{\braket{m}{m}}$$
Non è difficile calcolarla esplicitamente. Abbiamo $\braket{m}{m}=1$ per costruzione, e inoltre
$$\bra{m} \sigma_i^z \sigma_{i+1}^z \ket{m} = \bra{m}_i \sigma_i^z \ket{m}_i \bra{m}_{i+1}\sigma_{i+1}^z \ket{m}_{i+1} = m^2$$
come nel calcolo sopra. L’azione di $\sigma_i^x$ è semplicemente di scambiare $\ket{+}_i \leftrightarrow \ket{-}_i$, quindi
$$\bra{m} \sigma_i^x\ket{m} = 2 \sqrt{\frac{1+m}{2}} \sqrt{\frac{1-m}{2}} = \sqrt{1-m^2}$$
Alla fine otteniamo:
$$E_0(m) = -NJm^2 -N B \sqrt{1-m^2}$$
Per trovare qual è lo stato fondamentale, quantomeno approssimativamente, dobbiamo minimizzare $E_0(m)$. La derivata ci dà
$$\pdv{E_0}{m} = -2 N J m + N B \frac{m}{\sqrt{1-m^2}}=0$$
Ovvero risolvendo abbiamo $m=0$ oppure $m= \pm \sqrt{1-\frac{B^2}{4 J^2}}$. Per scelta ci limitiamo al caso solito in cui $B, J > 0$. La seconda soluzione è possibile solo se $B < 2J$. Per capire quale dei due casi ha energia minore li rimettiamo in $E_0$:
$$E_0(0)=-NB\\
E_0(m_{\pm}) = -NJ\pqty{1+\frac{B^2}{4 J^2}}$$
Dobbiamo decidere quando $E_0(m_{\pm}) < E_0(0)$. Ciò avviene se è soddisfatta la diseguaglianza
$$\frac{1}{4} x^2-x+1>0$$
dove abbiamo posto $x= B/J$, per cui $0 < x < 2$. L’equazione ha una sola radice $x=2$, e quindi la disequazione è soddisfatta per tutti i valori $0 < B/J < 2$, ovvero in tutta la regione in cui la seconda soluzione esiste. Quindi riassumendo:
- per $0 < B/J < 2$ lo stato fondamentale è dato da uno tra $m= \pm \sqrt{1-\frac{B^2}{4 J^2}}$, ovvero abbiamo una magnetizzazione non nulla, $\langle \sigma_i^z \rangle \neq 0$.
- per $B/J > 2$ lo stato fondamentale è dato da $m=0$, ovvero abbiamo magnetizzazione nulla, $\langle \sigma_i^z \rangle = 0$.
Questo è un esempio tipico di transizione di fase quantistica: nello stato disordinato, le fluttuazioni quantistiche hanno distrutto l’ordine classico.
In un certo senso, potevamo aspettarci che qualcosa del genere sarebbe successo: nel caso $B \ll J$ possiamo ignorare il secondo termine, e lo stato fondamentale è dato da $m=\pm 1$ come nel caso classico, in cui gli spin sono tutti orientati in $+$ o $-$, nella stessa direzione. Invece nel caso $B \gg J$, gli spin sono in un autostato di $\sigma_i^x$ e quindi lo stato fondamentale è dato da $m=0$ ovvero dallo stato in cui abbiamo $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+}+\ket{-})$ in ogni spin, una sovrapposizione identica degli autostati di $\sigma^z$.
Nel prossimo articolo risolveremo il sistema esattamente e vedremo che la predizione qualitativa di questo metodo variazionale è corretta, ma la transizione di fase avviene per $B/J=1$.