Letteralmente il titolo: lista di modelli discreti in fisica statistica. Ne ho sicuramente dimenticati molti, per cui segnalateli nei commenti.
Per semplicità, consideriamo qui solo modelli discreti, cioè definiti su un reticolo (o su un grafo) e in particolare non modelli di teoria dei campi.
Modelli classici discreti
Modello di Ising
Il modello di Ising è forse il più famoso modello della meccanica statistica. È definito su un reticolo di qualsiasi forma e dimensionalità (ad esempio una catena 1D oppure un reticolo quadrato in 2D o un reticolo cubico in 3D, o un reticolo triangolare in 2D, eccetera). I siti del reticolo sono numerati da una variabile $i$ e il modello è caratterizzato dall’Hamiltoniana
$$H =-J\sum_{\langle ij \rangle} s_i s_j -B \sum_{i} s_i$$
dove gli “spin” $s_i$ sono variabili classiche, una per sito, che possono prendere i valori $\pm 1$, mentre $\langle ij \rangle$ indica che la somma avviene tra primi vicini.
Modello di Ising generalizzato
Il modello di Ising può essere generalizzato considerando sempre un reticolo di qualsiasi forma e dimensione, ma un’Hamiltoniana più generale, della forma:
$$H =-\sum_{ij} J_{ij} s_i s_j -\sum_{i} B_i s_i$$
In altre parole questa volta il campo magnetico $B_i$ può essere diverso per ogni sito, ma è sempre fissato, e lo stesso per la costante di accoppiamento $J_{ij}$ che accoppia tutti gli spin per quanto lontani
Il modello di Ising tradizionale consiste nella scelta $B_i = B$ costante e
$$J_{ij}=\begin{cases}J & i,j\,\,\mathrm{primi\,vicini}\\0 & \mathrm{altrimenti}\end{cases}$$
In base al modello di Ising generalizzato, si possono definire i modelli direttamente seguenti.
Vetro di spin
Un vetro di spin è un modello di Ising generalizzato in cui tipicamente $B_i=0$ e gli accoppiamenti $J_{ij}$ sono presi a caso, ma sempre fissati. A volte si restringe comunque $J_{ij} \geq 0$ in modo che l’interazione sia ferromagnetica (cioè favorisca l’allineamento tra gli spin), ed è comune che i $J_{ij}$ siano presi secondo una distribuzione specifica. L’idea è di mimare il vetro, che è un materiale disordinato.
Ad esempio il modello di Edwards-Anderson ha l’Hamiltoniana
$$H =-\sum_{\langle ij \rangle} J_{ij} s_i s_j$$
dove stavolta l’interazione è solo tra i primi vicini (di nuovo, il reticolo è arbitrario in forma e dimensione). Gli accoppiamenti $J_{ij}$ sono campionati da una distribuzione gaussiana con media e varianza fissata.
In modo simile, il modello di Sherrington-Kirkpatrick è dato dall’Hamiltoniana
$$H =-\sum_{ij} J_{ij} s_i s_j$$
dove stavolta gli spin interagiscono a distanza arbitraria e gli accoppiamenti $J_{ij}$ sono di nuovo campionati da una distribuzione gaussiana con media e varianza fissata.
Modello di Ising a lungo raggio
Anche questo è un sottotipo del modello di Ising generalizzato in cui gli accoppiamenti prendono la forma
$$J_{ij} = \frac{J_0}{\abs{i-j}^\alpha}$$
dove si suppone $i \neq j$. L’idea è di mimare un’energia potenziale del tipo $1/r^\alpha$ tra gli spin. L’interazione è a lungo raggio nel senso che gli spin interagiscono sempre nonostante la distanza di separazione.
Vetro di spin a infinito raggio
È una generalizzazione di un vetro di spin, ma non è un modello di Ising, nonostante gli sia molto vicino. Invece di avere interazioni tra due spin, le interazioni sono tra $r-$spin, per cui viene anche chiamato modello a $r-$spin. È definito su un reticolo qualsiasi dall’Hamiltoniana
$$H = -\sum_{ i_1, i_2, \ldots, i_r} J_{i_1, i_2, \ldots, i_r} s_{i_1} s_{i_2}\cdots s_{i_r}$$
gli $s_i$ sono ancora degli spin classici che possono assumere i valori $\pm 1$. I $J_{i_1, i_2, \ldots, i_r}$ sono scelti casualmente, campionandoli da una certa distribuzione.
Il modello a energia casuale (random energy model) è un modello a $r-$spin dove prendiamo il limite $r \to \infty$ in un qualche senso.
Modello di Heisenberg O(N)
Il modello di Heisenberg, o modello $O(N)$ è una generalizzazione del modello di Ising in cui gli spin sono vettori unitari con $N$ componenti. In altre parole, ad ogni sito $i$ è associato un vettore $\vec{s}_i\in \mathbb{R}^N$ tale che $|\vec{s}_i|=1$.
$$H =-J \sum_{\langle ij \rangle} \vec{s}_i \cdot \vec{s}_j$$
Il modello può essere definito su un reticolo arbitrario, e in particolare il numero $N$ è del tutto indipendente dalla dimensione del reticolo.
Viene anche detto modello $O(N)$ perché l’Hamiltoniana ha simmetria $O(N)$: possiamo ruotare/riflettere ogni spin per una qualsiasi matrice di $O(N)$ e l’Hamiltoniana resta la stessa. Alcuni chiamano modello di Heisenberg solo il modello $O(3)$.
Anche per questo modello possiamo definire tutte le possibili varianti come per il modello di Ising generalizzato. Possiamo anche introdurre un termine di campo magnetico $-\sum_{i} \vec{B}_i\cdot \vec{s}_i$.
Il modello di Ising può essere visto come un modello $O(1)$.
Modello XY Classico
Un caso particolare del modello $O(N)$ è il modello $O(2)$, anche detto modello XY o modello di spin planari. L’Hamiltoniana in questo caso è data da
$$H =-J \sum_{\langle ij \rangle} \vec{s}_i \cdot \vec{s}_j =-J \sum_{\langle ij \rangle} \cos{(\theta_i-\theta_j)} $$
dove abbiamo scritto ognuno degli spin come $\vec{s}_i = (\cos{\theta_i},\sin{\theta_i})$ dove ognuno dei $\theta_i$ è un angolo in $[0, 2\pi]$.
L’abbiamo separato perché trova parecchie applicazioni. A volte si chiama modello XY generalizzato un modello XY in cui sia aggiunto un campo magnetico, oppure in cui si generalizzano le costanti di accoppiamento $J_{ij}$.
Modello di Potts planare
Il modello di Potts è simile al precedente, ma gli angoli ammessi sono discreti invece che continui. Abbiamo di nuovo un reticolo arbitrario, e su ogni sito uno spin definito da un angolo. In particolare il modello q-Potts ammette $q$ possibili valori per gli angoli:
$$\theta_i \in \left\{ \frac{2\pi n}{q},\,\,\,\,\,\, n = 0,1,\ldots,q-1\right\}$$
L’Hamiltoniana è la stessa del modello XY:
$$H =-J \sum_{\langle ij \rangle} \cos{(\theta_i-\theta_j)} $$
dove però abbiamo solo $q$ scelte per gli angoli $\theta_i$.
Il modello può anche essere riformulato nella seguente maniera equivalente. In ogni sito abbiamo uno spin classico $s_i$ che può assumere $q$ valori:
$$s_i \in \{0,1,\ldots, q-1\}$$
Definiamo poi $\theta_s \equiv \frac{2\pi s}{q}$. L’Hamiltoniana è quindi
$$H =-J \sum_{\langle ij \rangle} \cos{\pqty{\frac{2\pi}{q}(s_i-s_j)}} $$
Questa formulazione è chiaramente equivalente alla precedente.
Anche questo modello ammette varie generalizzazioni del tipo del modello di Ising generalizzato.
Modello di Potts standard
Il modello di Potts standard è simile al precedente, ma differisce per la forma dell’Hamiltoniana. In ogni sito di un reticolo arbitrario abbiamo uno spin classico $s_i$ che può assumere $q$ valori:
$$s_i \in \{0,1,\ldots, q-1\}$$
L’Hamiltoniana è quindi data da
$$H =-J \sum_{\langle ij \rangle} \delta(s_i, s_j) $$
dove $\delta(s_i, s_j)$ è la delta di Kronecker.
Anche questo modello ammette varie generalizzazioni del tipo del modello di Ising generalizzato.
Modelli quantistici discreti
Modello di Heisenberg quantistico o modello XYZ
Il modello di Heisenberg quantistico è definito in maniera simile al modello di Ising su un reticolo di qualsiasi forma e dimensione. Abbiamo sempre uno spin per ogni sito del reticolo, ma stavolta lo spin è quantistico e non classico.
Poiché lo spin è quantistico, per ogni sito $i$ avremo degli operatori di spin $\hat{\mathbf{S}}_i$ i cui componenti soddisfano le solite relazioni di commutazione
$$[\hat{S}_\alpha, \hat{S}_\beta]=i\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\hat{S}_\gamma$$
dove abbiamo omesso l’indice $i$ per evitare di complicare troppo la notazione. Non poniamo restrizioni sul valore di $\hat{\mathbf{S}}_i^2$. In ogni sito possiamo avere spin arbitrario, purché intero o semi-intero.
L’Hamiltoniana è quindi data da
$$\hat H = -\sum_{\langle ij \rangle} J_x \hat{S}_i^{(x)} \hat{S}_j^{(x)}+J_y \hat{S}_i^{(y)} \hat{S}_j^{(y)}+J_z \hat{S}_i^{(z)} \hat{S}_j^{(z)}$$
dove $\hat{S}_i^{(x)}$ è la componente $x$ dell’operatore di spin nel sito $i$. I nomi $x,y,z$ sono assegnati a caso ai tre componenti (nel caso spin$-1/2$ sarebbero ad esempio le matrici di Pauli; anche per spin maggiori i componenti sono sempre tre). In base ai valori degli accoppiamenti abbiamo i seguenti sottocasi:
- se $J_x, J_y, J_z$ sono tutti diversi abbiamo il cosiddetto modello XYZ.
- se due sono uguali, diciamo $J_x = J_y \neq J_z$ allora abbiamo il cosiddetto modello XXZ.
- se sono tutti uguali, $J_x = J_y = J_z$, allora abbiamo il cosiddetto modello XXX.
Anche in questo caso possiamo proporre varie generalizzazioni in stile Ising classico, che non stiamo ad elencare.
Modello del rotore quantistico
Il modello del rotore quantistico è definito di nuovo su un reticolo arbitrario (dimensione e forma qualsiasi). In ogni sito abbiamo un vettore posizione, che chiamiamo $\mathbf{n}$ e un vettore impulso, che chiamiamo $\mathbf{p}$. I loro componenti soddisfano le solite relazioni di commutazione $[n_\alpha, p_\beta] = i \delta_{\alpha\beta}$.
In ogni sito $i$ abbiamo dei vettori $\mathbf{n}_i$ e $\mathbf{p}_i$. Vettori di siti diversi commutano tra loro. Possiamo anche definire il momento angolare $\mathbf{L}_i$, i cui componenti sono come al solito $L_\alpha = \epsilon_{\alpha\beta\gamma} n_\beta p_\gamma$. L’Hamiltoniana è quindi data da
$$\hat{H} = \frac12 g J \sum_i \mathbf{L}_i^2 -J \sum_{\langle ij \rangle}\mathbf{n}_i \cdot \mathbf{n}_j$$
dove $g$ e $J$ sono costanti. Questo modello trova diverse applicazioni.