Abbiamo visto in un precedente articolo la classificazione delle algebre di Lie in una e due dimensioni. In questo articolo vedremo come classificare le algebre di Lie tridimensionali, cosa che risulta utile, ad esempio, in cosmologia.
Abbiamo tre generatori $X_1, X_2, X_3$ che soddisfano
$$[X_i, X_j] = f_{ij}^k X_k$$
dove le $f_{ij}^k$ sono le cosiddette costanti di struttura dell’algebra. Un’algebra di Lie è interamente definita dalle sue costanti di struttura. Mettiamo un indice in alto e due in basso per ricordarci che i due indici in basso sono quelli antisimmetrici. Le costanti di struttura devono soddisfare
$$f_{ij}^k = -f_{ji}^k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(antisimmetria)}\\
f_{ij}^m f_{km}^l + f_{jk}^m f_{im}^l+ f_{ki}^m f_{jm}^l =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(Jacobi)}$$
A parte ciò sono interamente arbitrarie: qualunque costanti $f_{ij}^k$ che soddisfino le due proprietà sopra sono le costanti di struttura di una certa algebra di Lie. Per procedere vogliamo ridurre la complessità del problema. Innanzitutto rimuoviamo il requisito di antisimmetria scrivendo
$$f_{ij}^k = \epsilon_{ijl} F^{lk}$$
dove $F^{lk}$ è una matrice $3 \times 3$ e $\epsilon_{ijk}$ è il simbolo totalmente antisimmetrico di Levi Civita, con la convenzione che $\epsilon_{123}=1$.
Senza considerare Jacobi, possiamo controllare che $F^{lk}$ ha tanti componenti indipendenti quanto $f_{ij}^k$, cioè possiamo controllare che effettuando questa sostituzione abbiamo completamente risolto l’antisimmetria senza perdere informazione. $F^{lk}$ è una matrice qualsiasi $3 \times 3$, e quindi ha $9$ componenti indipendenti. Al contrario, per ognuno dei tre $k$, $f_{ij}^k$ è una matrice antisimmetrica $3 \times 3$, ognuna delle quali ha $3$ componenti indipendenti, per un totale di $9$. Perciò le due rappresentazioni sono equivalenti.
In termini di $F^{lk}$, l’identità di Jacobi diventa
$$\epsilon_{jkl} F^{kl} F^{ji}=0$$
Ciò può essere controllato algebricamente: dato un termine della forma $f_{ij}^m f_{km}^l$ e sostituendo la definizione di $f_{ij}^k = \epsilon_{ijl} F^{lk}$ otteniamo
$$\epsilon_{ijp} F^{pm} \epsilon_{kmq} F^{ql}$$
Per cui l’identità di Jacobi diventa
$$\epsilon_{ijp} F^{pm} \epsilon_{kmq} F^{ql} + \epsilon_{jkp} F^{pm} \epsilon_{imq} F^{ql}+ \epsilon_{kip} F^{pm} \epsilon_{jmq} F^{ql}=0$$
Ovvero:
$$\pqty{\epsilon_{ijp}\epsilon_{kmq} + \epsilon_{jkp}\epsilon_{imq}+ \epsilon_{kip} \epsilon_{jmq}} F^{pm} F^{ql}=0$$
Ora moltiplichiamo tutto per $\epsilon_{ijk}$. Utilizzando le due identità
$$\epsilon_{ijr}\epsilon_{ijk} = 2 \delta_{rk}\\
\epsilon_{ijr}\epsilon_{ilk} = \delta_{jl} \delta_{rk} -\delta_{jk} \delta_{rl}$$
otteniamo dopo un po’ di conti abbastanza facili
$$6\epsilon_{pmq}F^{pm} F^{ql}=0$$
che è esattamente la formula che cercavamo, cambiando nome ad alcuni indici.
Ora per procedere separiamo $F$ nella sua parte simmetrica e antisimmetrica:
$$F^{ij} = S^{ij}+A^{ij}$$
dove $S$ è una matrice simmetrica e $A$ una matrice antisimmetrica. Poiché $S$ è simmetrica, può essere sempre diagonalizzata in una base ortogonale. Pertanto in una base appropriata abbiamo
$$S^{ij} = \delta^{ij} n^j$$
per un qualche vettore $n^j$. Il cambio di base non cambia il fatto che $A^{ij}$ è antisimmetrica. Inoltre, ogni matrice antisimmetrica $3\times 3$ può essere scritta come
$$A^{ij} = \epsilon^{ijk} a_k$$
per un qualche vettore $a_k$. Ciò non è difficile da verificare. Perciò abbiamo
$$F^{ij} = \delta^{ij} n^j+\epsilon^{ijk} a_k$$
Inserendo $F^{ij}$ nell’identità di Jacobi $\epsilon_{jkl} F^{kl} F^{ji}=0$ troveremo delle condizioni su $n$ e $a$. Infatti otteniamo dopo alcuni calcoli
$$n^p a_p+\epsilon^{iqp} a_q a_p =0$$
Il secondo termine è nullo per simmetria/antisimmetria, perciò la condizione diventa $n^p a_p=0$.
Ora notiamo che sia $\epsilon^{ijk} a_k$ che $\epsilon^{ijk}$ sono tensori (nel senso euclideo, cioè trasformano in modo appropriato rispetto alle rotazioni). Pertanto anche $a_k$ è un tensore. Possiamo quindi effettuare una rotazione in modo da eliminare due componenti di $a_k$ senza cambiare la forma di $F^{ij}$: poniamo $a_1 = a$, $a_2 = a_3 = 0$. Otteniamo quindi definitivamente,
$$F^{ij} = \delta^{ij} n^j+\epsilon^{ijk} a_k$$
con $a_2 = a_3 = 0$, $a_1 \equiv a$ e $n_1 a = 0$. Riportando il tutto in termini di algebra di Lie, otteniamo i commutatori
\begin{align*}
[X_1, X_2] &=-a X_2+n_3 X_3\\
[X_2, X_3] &= n_1 X_1\\
[X_3, X_1] &=n_2 X_2+a X_3
\end{align*}
dove però $n_1 a =0$, quindi uno dei due dev’essere zero. Chiaramente rimane possibile in alcuni casi specifici ridefinire gli $X_i$ e ottenere algebre equivalenti: quindi non tutte le scelte possibili di $a, n_1, n_2, n_3$ danno algebre inequivalenti. Passiamo quindi a considerare i vari possibili casi. Innanzittuto se $a=0$ abbiamo
$$[X_1, X_2] =n_3 X_3\\
[X_2, X_3] = n_1 X_1\\
[X_3, X_1] =n_2 X_2$$
- Se tutte le componenti di $n$ sono zero, cioè $a=n_1=n_2=n_3 = 0$ allora abbiamo l’algebra abeliana, detta Bianchi-I.
- Se due componenti di $n$ sono zero, ma non tutte, ad esempio $a=n_2=n_3=0$, ma $n_1 \neq 0$, allora possiamo ridefinire $\widetilde{X}_1 = n_1 X_1$ e poi rimettendo $\widetilde{X}_1 \to X_1$ otteniamo l’algebra $[X_1, X_2] =0, [X_2, X_3] = X_1, [X_3, X_1] =0$. Questa è l’algebra Bianchi-II. Otteniamo algebre equivalenti negli altri due casi in cui esattamente due componenti di $n$ sono nulli.
- Se solo un componente di $n$ è zero, cioè ad esempio $a=n_3=0$, ma gli altri due sono non-zero, $n_1, n_2 \neq 0$, allora abbiamo due risultati diversi in base al segno relativo dei due componenti. Se $n_1, n_2$ hanno lo stesso segno possiamo porre $\widetilde{X}_1 = \sqrt{\abs{n_1}}X_1$, $\widetilde{X}_2 =\sqrt{\abs{n_2}} X_2$ e $\widetilde{X}_3 =\mathrm{sgn}(n_1) X_3 / \sqrt{\abs{n_1 n_2}}$. Eliminando le tilde, otteniamo l’algebra $[X_1, X_2] =0, [X_2, X_3] = X_1, [X_3, X_1] = X_2$, detta Bianchi-VII. Se invece $n_1, n_2$ hanno segno opposto, una simile trasformazione conduce all’algebra $[X_1, X_2] =0, [X_2, X_3] = X_1, [X_3, X_1] = -X_2$, detta Bianchi-VI.
- Se tutti e tre i componenti di $n$ sono non nulli e hanno tutti lo stesso segno, una semplice trasformazione simile alle precedenti conduce all’algebra Bianchi-IX, ovvero $[X_1, X_2] =X_3, [X_2, X_3] = X_1, [X_3, X_1] = X_2$. Se invece solo due dei tre hanno lo stesso segno, otteniamo l’algebra Bianchi-VIII, cioè $[X_1, X_2] =-X_3, [X_2, X_3] = X_1, [X_3, X_1] = X_2$
Se invece $a \neq 0$ allora abbiamo $n_1 =0$ e quindi
\begin{align*}
[X_1, X_2] &=-a X_2+n_3 X_3\\
[X_2, X_3] &= 0\\
[X_3, X_1] &=n_2 X_2+a X_3
\end{align*}
Anche qui abbiamo diversi casi:
- Se tutti i componenti di $n$ sono nulli, ridefinendo $X_1$ rimuoviamo $a$ e otteniamo l’algebra $[X_1, X_2] =-X_2, [X_2, X_3] = 0, [X_3, X_1] = X_3$, detta Bianchi-V.
- Se due componenti di $n$ sono nulli, ad esempio $n_1 = n_2 = 0$, allora possiamo al solito ridefinire la base e ottenere $[X_1, X_2] =-X_2+X_3, [X_2, X_3] = 0, [X_3, X_1] = X_3$, cioè l’algebra Bianchi-IV.
- Se invece solo $n_1$ è nullo e $n_2, n_3$ hanno lo stesso segno, possiamo ridefinire la base per porre $n_2=n_3=1$, ma non si riesce a porre $a=1$. Otteniamo una famiglia di algebre detta Bianchi-VIII, ovvero $[X_1, X_2] =-aX_2+X_3, [X_2, X_3] = 0, [X_3, X_1] = X_2 +a X_3$.
- Se di nuovo solo $n_1$ è nullo ma $n_2, n_3$ hanno segno opposto, vale un discorso simile a otteniamo le algebre Bianchi-VI, ovvero $[X_1, X_2] =-aX_2-X_3, [X_2, X_3] = 0, [X_3, X_1] = X_2 +a X_3$.
Il caso Bianchi-VI con $a=1$ è anche detto Bianchi-III. Inoltre vediamo come il caso Bianchi-VIII con $a=0$ sia un caso particolare di Bianchi-VIII con $a\neq 0$; stesso discorso per i Bianchi-VI. Alcuni casi sono noti: Bianchi-II è l’algebra di Heisenberg; inoltre Bianchi-IX è l’algebra $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})$.