Il modello di Ising è il più famoso tra i modelli della fisica statistica. In una dimensione, abbiamo semplicemente una catena con $N$ siti disposti uno di fianco all’altro. Imporremo condizioni al contorno periodiche, cosicché il sito $N+1$ è il sito $1$. Su ogni sito abbiamo uno “spin” classico $s_i = \pm 1$, e l’Hamiltoniana è data da
$$H = -J \sum_i s_i s_{i+1} -B \sum_i s_i$$
dove $B$ può essere pensato come un campo magnetico esterno, che tende a far allineare gli spin alla sua direzione, e $J$ è la forza dell’interazione tra spin vicini.
Questo modello può essere risolto esattamente, cioè siamo in grado di calcolarne esattamente la funzione di partizione
$$Z = \sum_{\{s_i\}} e^{-\beta H(\{s_i\})}$$
dove $\{s_i\}$ indica una delle possibili configurazioni degli $N$ spin.
Prima di tutto riscriviamo l’Hamiltoniana nella maniera seguente:
$$H = -\sum_i \pqty{J s_i s_{i+1} +B \frac{s_i+s_{i+1}}{2}}$$
In questa maniera abbiamo una sola sommatoria ed abbiamo reso evidente che l’Hamiltoniana è una somma di termini che dipendono da $i$ e $i+1$ soltanto. Questa riscrittura non è strettamente necessaria (quanto segue funziona lo stesso anche senza) ma semplifica i conti. Pertanto l’esponenziale può essere scritto come
$$e^{-\beta H(\{s_i\})} = \prod_{i=1}^N \exp{\bqty{\beta J s_i s_{i+1} +\beta B \frac{s_i+s_{i+1}}{2}}}$$
Ora possiamo definire la funzione
$$V(p,q) = \exp{\bqty{\beta J p q +\beta B \frac{p+q}{2}}}$$
cosicché
$$e^{-\beta H(\{s_i\})} = \prod_{i=1}^N V(s_i, s_{i+1})$$
e quindi la funzione di partizione è
$$Z = \sum_{\{s_i\}} e^{-\beta H(\{s_i\})} = \sum_{s_1}\sum_{s_2}\cdots \sum_{s_N} V(s_1, s_2) V(s_2, s_3) \cdots V(s_{N-1}, s_N)V(s_N, s_1)$$
Se vediamo i $V(s_i, s_{i+1})$ come gli elementi di una matrice, allora la formula sopra corrisponde a nient’altro che al prodotto di matrici, seguito da una traccia. In altre parole, ponendo
$$V = \begin{pmatrix}V(1,1) & V(1,-1)\\ V(-1,1) & V(-1,-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^{\beta(J+B)} & e^{-\beta J}\\ e^{-\beta J}& e^{\beta (J-B)}\end{pmatrix}$$
otteniamo
$$Z = \sum_{\{s_i\}} e^{-\beta H(\{s_i\})} = \sum_{s_1}\sum_{s_2}\cdots \sum_{s_N} V(s_1, s_2) V(s_2, s_3) \cdots V(s_{N-1}, s_N)V(s_N, s_1) = \mathrm{tr}(V^N)$$
Gli autovalori di $V$ sono facili da calcolare. Abbiamo infatti
$$\lambda_{\pm} = e^{\beta J} \cosh{\beta B} \pm \sqrt{e^{2\beta J} \sinh^2{\beta B}+e^{-2\beta J}}$$
e quindi otteniamo
$$Z= \lambda_+^N + \lambda_-^N$$
Nel limite termodinamico in cui $N\to \infty$ sopravvive solo l’autovalore più grande tra i due, cioè $\lambda_+$ e quindi $Z = \lambda_+^N$ e inoltre l’energia libera per sito sarà
$$f = \lim_{N \to \infty} -\frac{1}{\beta N} \log {Z} = -\frac{1}{\beta}\log {\bqty{e^{\beta J} \cosh{\beta B} + \sqrt{e^{2\beta J} \sinh^2{\beta B}+e^{-2\beta J}}}}$$
Questo metodo di soluzione funziona solo in una dimensione, dove possiamo sfruttare questo trucco per trasformare la funzione di partizione in una forma particolarmente semplice. La soluzione in due dimensioni, dovuta ad Onsager, è estremamente complicata.