Abbiamo visto nello scorso articolo che il gas multivortici può essere descritto dal modello di Sine-Gordon,
$$S[\phi] = \int d^2 x\, \bqty{\frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 -\lambda_0 \cos{(g_0 \phi)}}$$
tramite un’appropriata identificazione dei parametri. Ora procederemo ad un’analisi del modello tramite il gruppo di rinormalizzazione e ne vedremo alcune conseguenze.
Immaginiamo di lavorare nello spazio dei momenti. Introduciamo un momento massimo $\Lambda$, cioè taglieremo tutti gli integrali nello spazio dei momenti a $k=\Lambda$. Chiamiamo $\phi_k$ la trasformata di Fourier di $\phi$. Introduciamo inoltre un parametro di scala $\zeta$, in modo da dividere i modi di Fourier di $\phi$ in due parti:
- i modi a basse energie $\phi_k^-$, supportati nella regione $0 < k < \Lambda/\zeta$
- i modi ad alte energie $\phi_k^+$, supportati nella regione $\Lambda/\zeta < k < \Lambda$
Abbiamo $\phi_k = \phi_k^- + \phi_k^+$. Ora trasformiamo tutto nello spazio reale, ottenendo $\phi^-(x)$, la trasformata inversa di $\phi_k^-$, $\phi^+(x)$, la trasformata inversa di $\phi_k^+$. Abbiamo di nuovo $\phi(x) = \phi^-(x)+\phi^+(x)$. Separiamo l’azione in una parte quadratica e in una parte d’interazione,
$$S[\phi] = S_0[\phi] + S_{I}[\phi]\\
S_0[\phi] = \int d^2 x\, \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2\\
S_{I}[\phi] = -\lambda_0 \int d^2 x\,\cos{(g_0 \phi)}$$
Ora sostituendo la separazione di $\phi$ nelle componenti ad alta/bassa energia otteniamo
$$S[\phi] = S_0[\phi^-]+S_0[\phi^+]+S_I[\phi^- + \phi^+]$$
La componente quadratica, essendo appunto quadratica, fattorizza bene nelle due parti, mentre invece la parte interagente rimane com’è. Inserendo nell’integrale sui cammini otteniamo:
$$\begin{align*}
Z = \int D\phi\, e^{-S} &= \int D\phi^-\,D\phi^+\, e^{-S_0[\phi^-]} e^{-S_0[\phi^+]} e^{-S_I[\phi^- + \phi^+]} =\\
&=\int D\phi^-\, e^{-S_0[\phi^-]} \int D\phi^+\,e^{-S_0[\phi^+]} e^{-S_I[\phi^- + \phi^+]}=\\
&=\int D\phi^-\, e^{-S_0[\phi^-]}\bigg\langle e^{-S_I[\phi^- + \phi^+]}\bigg\rangle_+=\\
&=\int D\phi^-\, e^{-S_{\mathrm{eff}}[\phi^-]}
\end{align*}$$
dove con $\langle \,\cdots\, \rangle_+$ abbiamo indicato la media rispetto solo ai modi ad alta energia $\phi^+$ con l’azione quadratica $S_0[\phi^+]$. Integrare via i modi ad alta energia produce quindi un’azione efficace per i modi a bassa energia:
$$S_{\mathrm{eff}}[\phi^-] = S_0[\phi^-]-\log{\bigg\langle e^{-S_I[\phi^- + \phi^+]}\bigg\rangle_+}$$
A questo punto possiamo calcolare le correzioni a $S_0$ ordine per ordine in $\lambda_0$. Lo sviluppo di Taylor ci dà
$$\log{\langle e^{t X}\rangle} = \langle X\rangle t+ \frac12 \pqty{\langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2} t^2+\cdots$$
Ci limiteremo a calcolare le correzioni al second’ordine in $\lambda_0$.
Correzioni al prim’ordine
Dobbiamo calcolare
$$-\bigg\langle S_I[\phi^- + \phi^+] \bigg\rangle_+ =\bigg\langle \lambda_0 \int d^2 x\,\cos{(g_0 (\phi^- + \phi^+))} \bigg\rangle_+ $$
Scrivendo il coseno come una somma di esponenziali abbiamo
$$\bigg\langle \lambda_0 \int d^2 x\,\cos{(g_0 (\phi^- + \phi^+))} \bigg\rangle_+ =\frac12 \lambda_0 \int d^2 x\,\bqty{e^{g_0\phi^-}\bigg\langle e^{g_0\phi^+}\bigg\rangle_++e^{-g_0\phi^-} \bigg\langle e^{-g_0\phi^+}\bigg\rangle_+} $$
Le medie possono essere calcolate usando l’identità di Wick,
$$\langle e^{\sum_a B_a \phi_a}\rangle = e^{\frac12 \sum_{a,b} B_a \langle\phi_a \phi_b\rangle B_a}$$
che in questo caso dà
$$\bigg\langle e^{\pm g_0\phi^+}\bigg\rangle_+ = e^{-\frac12 g_0^2 \langle \phi^+(x)\phi^+(x)\rangle_+}$$
In questo caso la funzione di correlazione è data da
$$\langle \phi^+(x)\phi^+(x)\rangle_+ = \int_{\Lambda/\zeta}^\Lambda \frac{d^2 k}{(2\pi)^2} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2\pi} \log{\zeta}$$
Sostituendo otteniamo la correzione al prim’ordine,
$$\lambda_0 \zeta^{-g_0^2/4\pi} \int d^2 x\,\cos{(g_0 \phi^-)}$$
Quindi l’azione efficace al prim’ordine è
$$S_{\mathrm{eff}}[\phi^-] = \int d^2 x\, \bqty{\frac{1}{2} (\nabla \phi^-)^2 -\lambda_0 \zeta^{-g_0^2/4\pi} \cos{(g_0 \phi^-)}}$$
Rimane un ultimo passaggio da effettuare. Nello spazio dei momenti, $\phi^-$ era supportata fino a $\Lambda/\zeta$; quindi perché l’azione prenda la stessa forma di quella originale, dobbiamo riscalare i momenti in maniera che $k \to \zeta k$, ottenendo così il momento massimo $\Lambda$ uguale tanto nella teoria rinormalizzata così come nella teoria originale. Ciò corrisponde nello spazio reale a prendere $x \to x /\zeta$. Nel primo termine l’effetto si cancella, mentre nel secondo no, per cui otteniamo
$$S_{\mathrm{eff}}[\phi] = \int d^2 x\, \bqty{\frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 -\lambda_0 \zeta^{2-g_0^2/4\pi} \cos{(g_0 \phi)}}$$
ovvero $\lambda(\zeta) = \lambda_0 \zeta^{2-g_0^2/4\pi}$. Già qui c’è l’essenza della transizione $BKT$:
- Se $2-g_0^2/4\pi < 0$ allora $\lambda(\zeta)$ va a zero nell’infrarosso ($\zeta \to \infty$). Per cui il termine d’interazione sparisce e la teoria è a massa nulla, quindi con le correlazioni che decadono come una potenza;
- Se invece $2-g_0^2/4\pi > 0$ allora l’interazione è rilevante ed espandendo attorno ad un minimo di $\phi$ gli diamo una massa; segue che le correlazioni decadono esponenzialmente.
Notiamo che il punto critico $2-g_0^2/4\pi =0$, cioè $g_0^2=8\pi$ è esattamente quello predetto negli articoli precedenti. Infatti in termini del modello di vortici avevamo $g_0^2 = 4\pi^2 \beta J$ e quindi la transizione avviene quando $k_B T_c = \frac{\pi}{2} J$. Notiamo che esattamente alla transizione di fase,
$$\langle \vec{s}(x)\cdot \vec{s}(0) \rangle \sim \frac{1}{r^{1/4}}$$
che è un risultato “universale”, cioè indipendente dai vari parametri.
Rinormalizzazione al second’ordine
Per rinormalizzare anche il coefficiente $\beta_0$ dobbiamo effettuare i calcoli al second’ordine. Uno dei due termini della correzione è il quadrato del primo termine, mentre l’altro termine è
$$\lambda_0^2 \bigg\langle \int d^2 x\, \int d^2 y\,\cos{(g_0 (\phi^-_x + \phi^+_x))} \cos{(g_0 (\phi^-_y + \phi^+_y))} \bigg\rangle_+ $$
Trasformando di nuovo i coseni in esponenziali e usando l’identità di Wick otteniamo
$$\frac12 \lambda_0^2 \int d^2 x\, \int d^2 y\,\bqty{\cos{(g_0 (\phi^-_x + \phi^-_y))}e^{-\frac12 g_0^2 \langle (\phi^+_x + \phi^+_y)^2\rangle_+} + \cos{(g_0 (\phi^-_x -\phi^-_y))}e^{-\frac12 g_0^2 \langle (\phi^+_x -\phi^+_y)^2\rangle_+}} $$
Possiamo quindi calcolare le medie $\langle (\phi^+_x \pm \phi^+_y)^2\rangle_+$. Avremo dei termini con due punti uguali, che sono uguali in entrambi e abbiamo già calcolato. Il termine non banale è invece
$$\langle \phi^+_x \phi^+_y\rangle_+ \equiv G^+(x-y)$$
Otteniamo quindi
$$\frac12 \lambda_0^2\zeta^{-g_0^2/2\pi} \int d^2 x\, \int d^2 y\,\bqty{\cos{(g_0 (\phi^-_x + \phi^-_y))}e^{-g_0^2 G^+(x-y)} + \cos{(g_0 (\phi^-_x -\phi^-_y))}e^{g_0^2 G^+(x-y)}} $$
Ora possiamo sottrarre il termine del prim’ordine al quadrato e poi dividere per due per ottenere la correzione al second’ordine. Il termine al prim’ordine al quadrato sarà il prodotto di due coseni, uno con $\phi^-_x$ e l’altro con $\phi^-_y$. Lo trasformiamo quindi nella somma di due coseni con $\phi^-_x\pm\phi^-_y$. In totale la correzione al second’ordine sarà data da
$$\frac14 \lambda_0^2\zeta^{-g_0^2/2\pi} \int d^2 x\, \int d^2 y\,\bqty{\cos{(g_0 (\phi^-_x + \phi^-_y))}\bqty{e^{-g_0^2 G^+(x-y)}-1} + \cos{(g_0 (\phi^-_x -\phi^-_y))}\bqty{e^{g_0^2 G^+(x-y)}-1}} $$
Ora, le due funzioni $e^{\pm g_0^2 G^+(x-y)}-1$ sono non nulle solo quando $G^+(x-y)$ è non nullo. Inoltre $G^+(x-y)$ è non nullo solo quando $x \approx y$; (ciò perché nello spazio dei momenti è concentrata in $\Lambda/\zeta <k< \Lambda$, quindi è zero per $r \gg \zeta/\Lambda$, che è un numero piccolo) Segue perciò che non c’è danno nell’approssimare $y = x + v$ con $v$ piccolo. Otteniamo:
$$\cos{(g_0 (\phi^-_x + \phi^-_y))}\approx \cos{(2g_0 \phi^-_x)}\\
\cos{(g_0 (\phi^-_x – \phi^-_y))}\approx 1 – \frac12 g_0^2 v^2 (\nabla \phi^-_x)^2$$
Quindi la correzione al second’ordine diventa
$$\frac14 \lambda(\zeta)^2 \int d^2 x\,\bqty{\cos{(2g_0 \phi^-_x)}f_1(\zeta) + (\nabla \phi^-_x)^2 f_2(\zeta)} $$
dove $\lambda(\zeta)$ è la stessa funzione che abbiamo definito prima e
$$f_1(\zeta) = \int d^2 v \,\bqty{e^{-g_0^2 G^+(v)}-1}\\
f_2(\zeta) = -\frac12 g_0^2 \int d^2 v\, \bqty{e^{g_0^2 G^+(v)}-1} $$
In altre parole, il gruppo di rinormalizzazione ha:
- rinormalizzato il termine quadratico;
- generato una nuova interazione della forma $\cos{(2g_0 \phi)}$, cosa normale ma che ignoreremo.
L’azione efficace è quindi (di nuovo riscaliamo $x \to x /\zeta$, ma stavolta non cambia niente che già non sapevamo) includendo entrambi i contributi al primo e al secon’ordine,
$$S_{\mathrm{eff}}[\phi] = \int d^2 x\, \bqty{\frac{1}{2}\pqty{1+\frac14\lambda(\zeta)f_2(\zeta)} (\nabla \phi)^2 -\lambda(\zeta) \cos{(g_0 \phi)}}$$
Per mantenere la normalizzazione canonica del primo termine dobbiamo riscalare il campo,
$$\phi'(x) = \sqrt{1+\frac14\lambda(\zeta)f_2(\zeta)}\phi(x)$$
e ciò ha l’effetto di rinormalizzare $g_0$:
$$g(\zeta) = \frac{g_0}{\sqrt{1+\frac14\lambda(\zeta)f_2(\zeta)}}\approx g_0\pqty{1-\frac14\lambda(\zeta)f_2(\zeta)}$$
In termini di $s$, dove $\zeta = e^s$ otteniamo quindi le funzioni beta
$$\boxed{\dv{\lambda}{s} = \pqty{2-\frac{g^2}{4\pi}}\lambda\\ \dv{g}{s} = -f(g) g^3 \lambda^2}$$
dove $f(g)$ è una funzione complicata ma positiva.
Nel prossimo articolo vediamo le conseguenze di quanto abbiamo trovato qui.