Nello scorso articolo abbiamo calcolato la funzione di partizione del gas di vortici e antivortici. Tuttavia, l’espressione che abbiamo trovato era molto complicata. In questo articolo, mostreremo che la funzione di partizione è la stessa del cosiddetto modello di Sine-Gordon, definito dall’azione
S[ϕ]=∫d2x[12(∇ϕ)2−λ0cos(g0ϕ)]
dove ϕ è un campo scalare reale e λ0, g0 sono delle costanti (il pedice 0 sta a indicare che le costanti non sono rinormalizzate, mentre nei prossimi articoli rinormalizzeremo questa teoria).
La funzione di partizione del modello di Sine-Gordon è data da
ZSG=∫Dϕe−S[ϕ]
Mostreremo che ZSG è uguale alla funzione di partizione dei vortici ricavata nello scorso articolo, con appropriate uguaglianze tra le costanti. Partiamo da ZSG ed espandiamo in serie nella costante λ:
ZSG=∫Dϕe−S[ϕ]==∫Dϕe−S0[ϕ]e∫d2xλ0cos(g0ϕ)==∫Dϕe−S0[ϕ]∞∑n=0λn0n!∫(n∏i=1d2xi)(n∏j=1cos(g0ϕ(xi)))==∞∑n=0λn0n!∫(n∏i=1d2xj)⟨n∏j=1cos(g0ϕ(xj))⟩0
dove S0 è la parte quadratica dell’azione e con ⟨⋯⟩0 si intende che la media è calcolata solo utilizzando S0. A questo punto procediamo trasformando i coseni in una somma di esponenziali. Per vedere meglio cosa stiamo facendo definiamo ϕi≡g0ϕ(xi). Per il termine n=1 abbiamo
⟨cosϕ1⟩0=12[⟨eiϕ1⟩0+⟨e−iϕ1⟩0]
Nel caso n=2 abbiamo alla stessa maniera
⟨cosϕ1cosϕ2⟩0=14⟨(eiϕ1+e−iϕ1)(eiϕ2+e−iϕ2)⟩0==14⟨ei(ϕ1+ϕ2)+ei(ϕ1−ϕ2)+ei(−ϕ1+ϕ2)+ei(−ϕ1−ϕ2)⟩0
Non è difficile convincersi a questo punto che il caso con n generale segue la seguente legge. Abbiamo 1/2n al denominatore davanti, che viene dal trasformare n coseni in esponenziali. Svolgendo i prodotti di esponenziali, vediamo che otteniamo tutti i possibili esponenziali il cui argomento è dato dalle varie possibili combinazioni di
±ϕ1±ϕ2⋯±ϕn
In altre parole,
⟨n∏j=1cosϕj⟩0=12n∑{ϵi}⟨ei∑ni=1ϵiϕi⟩0
dove ϵi=±1 e {ϵi} indica tutte le possibili configurazioni di ϵi. A questo punto possiamo calcolare esplicitamente la media tra parentesi. Prima di tutto scriviamola esplicitamente ed effettuiamo la traslazione ϕ→ϕ+α con α costante, nell’integrale sui cammini:
⟨ei∑ni=1ϵiϕi⟩0=∫Dϕe−S0[ϕ]ei∑ni=1ϵiϕi==∫D(ϕ+α)e−S0[ϕ+α]ei∑ni=1ϵi(ϕi+α)==ei∑ni=1ϵiα∫Dϕe−S0[ϕ]ei∑ni=1ϵiϕi==ei∑ni=1ϵiα⟨ei∑ni=1ϵiϕi⟩0
dove abbiamo usato il fatto che D(ϕ+α)=Dϕ e S0[ϕ+α]=S0[ϕ] per α costante. Quindi se la media è diversa da zero o infinito, cosa che non può essere sempre vera, dobbiamo avere
ei∑ni=1ϵiα=1
Ma poiché ciò deve valere per qualsiasi α reale, abbiamo che
n∑i=1ϵi=0
Questa è la stessa condizione di neutralità di carica che abbiamo trovato nell’articolo precedente, e vediamo quindi che gli ϵi giocano lo stesso ruolo delle cariche dei vortici ni. Pertanto vediamo che solo i termini con n pari, cioè n=2N sopravvivono nell’espansione della funzione di partizione, ovvero otteniamo
ZSG=∞∑N=0λ2N0(2N)!∫(2N∏i=1d2xj)122N∑{ϵi}⟨ei∑ni=1ϵiϕi⟩0
A questo punto possiamo rimuovere la somma sulle configurazioni imponendo un ordine specifico agli ϵi. Possiamo ad esempio richiedere che i primi N siano +1 e gli altri N siano −1, oppure che si alternino, eccetera. Non importa quale ordine si sceglie, basta che se ne scelga uno. Le configurazioni equivalenti, cioè ottenute da una permutazione l’una dell’altra, sono quindi il numero di modi in cui possiamo scegliere N degli ϵi come +1 tra i 2N ϵi totali, cioè (2NN)=(2N)!/(N!)2. Possiamo quindi rimuovere la somma sugli epsilon, ottenendo
ZSG=∞∑N=0(λ0/2)2N(N!)2∫(2N∏i=1d2xj)⟨ei∑ni=1ϵiϕi⟩0
dove stavolta gli ϵi seguono un ordine specifico, diciamo i primi N sono +1 e gli altri −1. Se la condizione di neutralità di carica è soddisfatta, allora la media è ben definita e possiamo usare l’identità di Wick, dato che S0 è quadratica:
⟨e∑aBaϕa⟩=e12∑a,bBa⟨ϕaϕb⟩Ba
Applicandola alla nostra media otteniamo
⟨ei∑ni=1ϵiϕi⟩0=e−12∑ni,j=1ϵiϵj⟨ϕiϕj⟩0
Rimane quindi da calcolare la correlazione a due punti ⟨ϕiϕj⟩0, che è un esercizio standard negli integrali sui cammini:
⟨ϕ(xi)ϕ(xj)⟩0=−12πlog(|xi−xj|a)
per i≠j. Nel caso in cui i=j otteniamo una costante irrilevante davanti alla funzione di partizione e non la scriviamo neanche. Pertanto otteniamo:
ZSG=∞∑N=0(λ0/2)2N(N!)2∫(2N∏i=1d2xj)exp[g202π∑i<jϵiϵjlog(|xi−xj|a)]
dove abbiamo rimesso ϕi≡g0ϕ(xi). Abbiamo quindi ottenuto la stessa funzione di partizione del gas multivortici del precedente articolo, con l’equivalenza
y=λ0/2βJ=(g02π)2
Nel prossimo articolo effettueremo un’analisi del modello di Sine-Gordon tramite il gruppo di rinormalizzazione e vedremo le implicazioni per la transizione BKT.