La transizione BKT nei superfluidi #5: mappa al modello di Sine-Gordon

Nello scorso articolo abbiamo calcolato la funzione di partizione del gas di vortici e antivortici. Tuttavia, l’espressione che abbiamo trovato era molto complicata. In questo articolo, mostreremo che la funzione di partizione è la stessa del cosiddetto modello di Sine-Gordon, definito dall’azione

$$S[\phi] = \int d^2 x\, \bqty{\frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 -\lambda_0 \cos{(g_0 \phi)}}$$

dove $\phi$ è un campo scalare reale e $\lambda_0$, $g_0$ sono delle costanti (il pedice $0$ sta a indicare che le costanti non sono rinormalizzate, mentre nei prossimi articoli rinormalizzeremo questa teoria).

La funzione di partizione del modello di Sine-Gordon è data da

$$Z_{\mathrm{SG}} =\int D\phi \,e^{-S[\phi]}$$

Mostreremo che $Z_{\mathrm{SG}}$ è uguale alla funzione di partizione dei vortici ricavata nello scorso articolo, con appropriate uguaglianze tra le costanti. Partiamo da $Z_{\mathrm{SG}}$ ed espandiamo in serie nella costante $\lambda$:

$$\begin{align*} Z_{\mathrm{SG}} &= \int D\phi \,e^{-S[\phi]}=\\ &= \int D\phi \,e^{-S_0[\phi]} e^{ \int d^2 x\, \lambda_0 \cos{(g_0 \phi)}}=\\ &= \int D\phi \,e^{-S_0[\phi]} \sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda_0^n}{n!} \int \pqty{\prod_{i=1}^n d^2 x_i}\, \pqty{\prod_{j=1}^n \cos{(g_0 \phi(x_i))}}=\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda_0^n}{n!} \int \pqty{\prod_{i=1}^n d^2 x_j}\, \bigg\langle\prod_{j=1}^n \cos{(g_0 \phi(x_j))}\bigg\rangle_0\\ \end{align*}$$

dove $S_0$ è la parte quadratica dell’azione e con $\langle \cdots \rangle_0$ si intende che la media è calcolata solo utilizzando $S_0$. A questo punto procediamo trasformando i coseni in una somma di esponenziali. Per vedere meglio cosa stiamo facendo definiamo $\phi_i \equiv g_0 \phi(x_i)$. Per il termine $n=1$ abbiamo

$$\langle \cos{\phi_1}\rangle_0 = \frac12 \bqty{\langle e^{i\phi_1}\rangle_0+\langle e^{-i\phi_1}\rangle_0}$$

Nel caso $n=2$ abbiamo alla stessa maniera

$$\begin{align*} \langle \cos{\phi_1} \cos{\phi_2}\rangle_0 &= \frac14 \bigg\langle \pqty{e^{i\phi_1}+e^{-i\phi_1}} \pqty{e^{i\phi_2}+e^{-i\phi_2}}\bigg\rangle_0=\\ &=\frac14 \bigg\langle e^{i(\phi_1+\phi_2)}+e^{i(\phi_1-\phi_2)}+e^{i(-\phi_1+\phi_2)}+e^{i(-\phi_1-\phi_2)}\bigg\rangle_0 \end{align*}$$

Non è difficile convincersi a questo punto che il caso con $n$ generale segue la seguente legge. Abbiamo $1/2^n$ al denominatore davanti, che viene dal trasformare $n$ coseni in esponenziali. Svolgendo i prodotti di esponenziali, vediamo che otteniamo tutti i possibili esponenziali il cui argomento è dato dalle varie possibili combinazioni di

$$\pm \phi_1 \pm \phi_2 \cdots \pm \phi_n$$

In altre parole,

$$\bigg\langle\prod_{j=1}^n \cos{\phi_j}\bigg\rangle_0=\frac{1}{2^n}\sum_{\{\epsilon_i\}} \langle e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i}\rangle_0$$

dove $\epsilon_i = \pm 1$ e $\{\epsilon_i\}$ indica tutte le possibili configurazioni di $\epsilon_i$. A questo punto possiamo calcolare esplicitamente la media tra parentesi. Prima di tutto scriviamola esplicitamente ed effettuiamo la traslazione $\phi \to \phi+\alpha$ con $\alpha$ costante, nell’integrale sui cammini:

$$\begin{align*} \langle e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i}\rangle_0 &= \int D\phi \,e^{-S_0[\phi]} e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i} =\\ &=\int D(\phi+\alpha) \,e^{-S_0[\phi+\alpha]} e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i (\phi_i+\alpha)} =\\ &=e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \alpha} \int D\phi \,e^{-S_0[\phi]} e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i} =\\ &=e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \alpha} \langle e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i}\rangle_0 \end{align*}$$

dove abbiamo usato il fatto che $D(\phi+\alpha)=D\phi$ e $S_0[\phi+\alpha]=S_0[\phi]$ per $\alpha$ costante. Quindi se la media è diversa da zero o infinito, cosa che non può essere sempre vera, dobbiamo avere

$$e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \alpha}=1$$

Ma poiché ciò deve valere per qualsiasi $\alpha$ reale, abbiamo che

$$\boxed{\sum_{i=1}^n \epsilon_i =0}$$

Questa è la stessa condizione di neutralità di carica che abbiamo trovato nell’articolo precedente, e vediamo quindi che gli $\epsilon_i$ giocano lo stesso ruolo delle cariche dei vortici $n_i$. Pertanto vediamo che solo i termini con $n$ pari, cioè $n=2N$ sopravvivono nell’espansione della funzione di partizione, ovvero otteniamo

$$Z_{\mathrm{SG}} =\sum_{N=0}^\infty \frac{\lambda_0^{2N}}{(2N)!} \int \pqty{\prod_{i=1}^{2N} d^2 x_j}\, \frac{1}{2^{2N}}\sum_{\{\epsilon_i\}} \langle e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i}\rangle_0$$

A questo punto possiamo rimuovere la somma sulle configurazioni imponendo un ordine specifico agli $\epsilon_i$. Possiamo ad esempio richiedere che i primi $N$ siano $+1$ e gli altri $N$ siano $-1$, oppure che si alternino, eccetera. Non importa quale ordine si sceglie, basta che se ne scelga uno. Le configurazioni equivalenti, cioè ottenute da una permutazione l’una dell’altra, sono quindi il numero di modi in cui possiamo scegliere $N$ degli $\epsilon_i$ come $+1$ tra i $2N$ $\epsilon_i$ totali, cioè ${2N \choose N} = (2N)!/(N!)^2$. Possiamo quindi rimuovere la somma sugli epsilon, ottenendo

$$Z_{\mathrm{SG}} =\sum_{N=0}^\infty \frac{(\lambda_0/2)^{2N}}{(N!)^2} \int \pqty{\prod_{i=1}^{2N} d^2 x_j}\, \langle e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i}\rangle_0$$

dove stavolta gli $\epsilon_i$ seguono un ordine specifico, diciamo i primi $N$ sono $+1$ e gli altri $-1$. Se la condizione di neutralità di carica è soddisfatta, allora la media è ben definita e possiamo usare l’identità di Wick, dato che $S_0$ è quadratica:

$$\langle e^{\sum_a B_a \phi_a}\rangle = e^{\frac12 \sum_{a,b} B_a \langle\phi_a \phi_b\rangle B_a}$$

Applicandola alla nostra media otteniamo

$$\langle e^{i \sum_{i=1}^n \epsilon_i \phi_i}\rangle_0= e^{-\frac12 \sum_{i,j=1}^n \epsilon_i \epsilon_j \langle \phi_i\phi_j \rangle_0}$$

Rimane quindi da calcolare la correlazione a due punti $\langle \phi_i\phi_j \rangle_0$, che è un esercizio standard negli integrali sui cammini:

$$\langle \phi(x_i)\phi(x_j) \rangle_0 = -\frac{1}{2\pi} \log{\pqty{\frac{\abs{x_i-x_j}}{a}}}$$

per $i \neq j$. Nel caso in cui $i=j$ otteniamo una costante irrilevante davanti alla funzione di partizione e non la scriviamo neanche. Pertanto otteniamo:

$$Z_{\mathrm{SG}} =\sum_{N=0}^\infty \frac{(\lambda_0/2)^{2N}}{(N!)^2} \int \pqty{\prod_{i=1}^{2N} d^2 x_j}\, \exp{\bqty{\frac{g_0^2}{2\pi}  \sum_{i < j} \epsilon_i \epsilon_j \log{\pqty{\frac{\abs{x_i-x_j}}{a}}}}}$$

dove abbiamo rimesso $\phi_i \equiv g_0 \phi(x_i)$. Abbiamo quindi ottenuto la stessa funzione di partizione del gas multivortici del precedente articolo, con l’equivalenza

$$\boxed{y = \lambda_0/2\\ \beta J = \pqty{\frac{g_0}{2\pi}}^2}$$

Nel prossimo articolo effettueremo un’analisi del modello di Sine-Gordon tramite il gruppo di rinormalizzazione e vedremo le implicazioni per la transizione BKT.