Un’identità molto utile nel calcolo degli integrali sui cammini è la cosiddetta identità di Wick, che semplifica di molto il calcolo del valore atteso di un esponenziale nel caso di azioni quadratiche.
Supponiamo di avere un’azione quadratica $S[\phi]$ dove $\phi$ è un campo scalare, e l’integrale sui cammini
$$Z = \int D\phi\, e^{-S[\phi]}$$
In questo contesto, una media è calcolata nella maniera seguente:
$$\langle f(\phi) \rangle = \int D\phi\, f(\phi) e^{-S[\phi]}$$
Allora l’identità di Wick afferma che:
$$\boxed{\Large{\big\langle e^{\sum_a B_a \phi_a}\big\rangle = e^{\frac12 \sum_{a,b} B_a \langle\phi_a \phi_b\rangle B_b}}}$$
dove $\phi_a \equiv \phi(x_a)$ e gli $B$ sono dei numeri qualsiasi.
Dimostreremo l’identità nel caso di un numero finito di variabili $\phi_a$. Il caso in cui $\phi=\phi(x)$ corrisponde al caso in cui abbiamo un numero infinito di variabili, ma in tal caso non siamo in grado di definire l’integrale sui cammini rigorosamente. Supponiamo di avere $n$ variabili $\phi_a$ e una funzione di partizione quadratica
$$Z = \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\, e^{-\frac{1}{2}\phi \cdot G^{-1}\cdot \phi}$$
dove $\phi \cdot G^{-1}\cdot \phi \equiv \sum_{a,b}\phi_a (G^{-1})_{ab} \phi_b$. Abbiamo messo $G^{-1}$ per semplificare i calcoli poi. La media di una certa funzione $f(\phi)$ delle variabili $\phi_a$ sarà quindi data da
$$\langle f(\phi) \rangle =\frac{1}{Z} \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\, f(\phi) e^{-\frac{1}{2}\phi \cdot G^{-1}\cdot \phi}$$
La funzione di partizione può essere calcolata esplicitamente. Dato che $G^{-1}$ è moltiplicata per un prodotto simmetrico, tanto vale prenderla simmetrica. Possiamo quindi diagonalizzarla con una trasformazione ortogonale, che per definizione ha Jacobiano uguale a uno. Quindi se i $\lambda_a$ sono gli autovalori di $G^{-1}$, abbiamo nella nuova base
$$Z = \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\, e^{-\frac{1}{2}\sum_a \lambda_a \phi_a^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} d \phi_1\, e^{-\frac{1}{2} \lambda_1 \phi_1^2} \int_{-\infty}^{+\infty} d\phi_2\, e^{-\frac{1}{2}\lambda_2 \phi_2^2} \cdots \int_{-\infty}^{+\infty} d\phi_n\, e^{-\frac{1}{2} \lambda_n \phi_n^2}$$
Ognuno di questi è un integrale gaussiano standard, che vale
$$\int_{-\infty}^{+\infty} dx\, e^{-a x^2} = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$$
Quindi otteniamo
$$Z = \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_1}}\sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_2}}\cdots \sqrt{\frac{2\pi}{\lambda_n}}= \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det{G^{-1}}}}=\sqrt{\det{(2\pi G)}}$$
Ora possiamo calcolare la media dell’esponenziale,
$$\big\langle e^{B \cdot \phi}\big\rangle = \frac{1}{Z} \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\, e^{-\frac{1}{2}\phi \cdot G^{-1}\cdot \phi+B\cdot \phi}$$
dove di nuovo $B \cdot \phi \equiv \sum_a B_a \phi_a$. Possiamo quindi completare il quadrato,
$$-\frac{1}{2}\phi \,G^{-1} \phi+B \phi = -\frac{1}{2} (\phi -G B) G^{-1} (\phi -G B)+\frac12 B G B$$
dove abbiamo usato la simmetria di $G^{-1}$, e omesso i $\cdot$ vari. Per dimostrare quest’ultima formula è più facile lavorare con i componenti. Per cui l’integrale diventa
$$\big\langle e^{B\phi}\big\rangle = \frac{1}{Z}e^{\frac12 B G B} \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\,e^{-\frac{1}{2} (\phi -G B) G^{-1} (\phi -G B)}$$
Ora effettuando la sostituzione $\phi -GB\to \phi$ l’integrale diventa precisamente $Z$, e quindi in definitiva
$$\big\langle e^{B \cdot \phi}\big\rangle = e^{\frac12 B\cdot G\cdot B}$$
Ora rimane da mostrare che
$$\langle \phi_a \phi_b \rangle= G_{ab}$$
Possiamo scrivere
$$\begin{align*}
\langle \phi_a \phi_b \rangle &=\frac{1}{Z} \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\, \phi_a \phi_b e^{-\frac{1}{2}\phi \cdot G^{-1}\cdot \phi}=\\
&=\frac{1}{Z} \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\, \pdv{}{B^a} \pdv{}{B^b} e^{-\frac{1}{2}\phi \cdot G^{-1}\cdot \phi+B\cdot \phi}\big\lvert_{B=0}=\\
&=\pdv{}{B^a} \pdv{}{B^b}\bqty{\frac{1}{Z} \int_{-\infty}^{+\infty} d^n \phi\, e^{-\frac{1}{2}\phi \cdot G^{-1}\cdot \phi+B\cdot \phi}}\bigg\lvert_{B=0}=\\
&=\pdv{}{B^a} \pdv{}{B^b}\big\langle e^{B \cdot \phi}\big\rangle\bigg\lvert_{B=0}=\\
&=\pdv{}{B^a} \pdv{}{B^b}e^{\frac12 B\cdot G\cdot B}\bigg\lvert_{B=0}=\\
&= G_{ab}
\end{align*}$$
ciò conclude la dimostrazione.
Nonostante abbiamo una formula esplicita per la media dell’esponenziale in termini di $G$, è spesso più utile prima utilizzare l’identità di Wick, e poi in caso calcolare le medie quadratiche. Espandendo in serie di Taylor l’identità di Wick, si ottiene il solito teorema di Wick.