Nello scorso articolo abbiamo visto una derivazione della transizione BKT nel caso di singolo vortice. Ora vediamo come si può estendere la discussione al caso con un numero arbitrario di vortici.
Caso multivortice
Nel caso multivortice, il campo $\theta$ dovrà comunque soddisfare la sua equazione del moto,
$$\nabla^2 \theta =0$$
Nel caso a singolo vortice, avevamo
$$\oint_C \nabla \theta \cdot d\vec{s} = 2\pi n$$
Scrivendo $\vec{v} = \nabla \theta$, abbiamo alternativamente
$$\oint_C \vec{v} \cdot d\vec{s} = 2\pi n$$
Possiamo pensare a $\vec{v}$ come alla “velocità” del superfluido. Usando il teorema di Stokes abbiamo,
$$\oint_S \nabla \times \vec{v} \cdot \ d\vec{S} = 2\pi n \hat{z}$$
dove $S$ è una superficie il cui bordo è $C$. Ora, tipicamente ci aspettiamo che $\nabla \times \vec{v}=0$, perché $\vec{v}$ è un gradiente. Tuttavia ciò è impossibile perché in questa maniera l’integrale sarebbe nullo. Dato che $\nabla \times \nabla f =0$ segue per principi di simmetria/antisimmetria, l’unica alternativa è che la derivata non esista in uno o più punti isolati. Possiamo scrivere quindi, in questo caso,
$$\nabla \times \vec{v} = 2\pi n \hat{z} \delta(x)$$
È facile generalizzare questa formula al caso a molti vortici. Abbiamo quindi il sistema di equazioni
$$\begin{align*}
\nabla \cdot \vec{v} &= 0\\
\nabla \times \vec{v} &= 2\pi \hat{z} \sum_i n_i \delta(x-x_i)
\end{align*}$$
dove la prima legge è semplicemente l’equazione di Laplace scritta in termini di $\vec{v}$, mentre nel secondo caso sommiamo sopra i vortici indicizzati da $i$, che hanno posizione $x_i$ e numero d’avvolgimento $n_i$. Questo sistema può essere risolto tramite un’analogia. Notiamo che
$$\nabla \times \vec{v} \cdot \hat{z} = \partial_1 v_2 -\partial_2 v_1$$
Ora possiamo definire un nuovo vettore $\vec{E}$ ponendo $v_1 = -E_2$ e $v_2 = E_1$. In questa maniera otteniamo
$$\nabla \times \vec{E} = 0\\
\nabla \cdot \vec{E} = 2\pi \sum_i n_i \delta(x-x_i)$$
Ma queste sono precisamente le equazioni di Maxwell per il campo elettrico nel caso elettrostatico in due dimensioni. La soluzione è data appunto dalla legge di Coulomb in due dimensioni, ovvero $\vec{E} = -\nabla \chi$ e
$$\chi = – \sum_i n_i \log{\pqty{\frac{\abs{x-x_i}}{a}}}$$
Ovvero i vortici formano un gas di Coulomb in 2D.
Ora possiamo separare i contributi alla velocità $\vec{v}$ in due parti:
$$\vec{v} = \vec{v}_{\mathrm{os}} + \vec{v}_{\mathrm{vortici}}$$
dove il primo termine corrisponde al flusso privo di circolazione ($n=0$) in assenza dei vortici. Viene detto anche “onda di spin” (spin wave), e il flusso è di puro potenziale, $\vec{v}_{\mathrm{os}} = \nabla \widetilde{\theta}$ dove la natura angolare di $\widetilde{\theta}$ è irrilevante e possiamo anche prendere $\widetilde{\theta} \in (-\infty, +\infty)$. L’altro pezzo è invece il contributo dovuto ai vortici con circolazione non nulla.
Possiamo quindi calcolare l’energia dovuta ai vortici:
$$E = \frac{J}{2} \int d^2 x\, \vec{v}^2 = \frac{J}{2} \int d^2 x\, \bqty{\vec{v}_{\mathrm{os}}^2 +2\vec{v}_{\mathrm{os}} \cdot\vec{v}_{\mathrm{vortici}}+ \vec{v}_{\mathrm{vortici}}^2}$$
Consideriamo i tre termini separatamente. Il primo darà origine all’energia dell’eccitazione senza vortici, $E_{\mathrm{os}}$, che ci interessa poco. Il secondo termine è proporzionale a
$$\int d^2 x\,\vec{v}_{\mathrm{os}} \cdot\vec{v}_{\mathrm{vortici}}=\int d^2 x\,\nabla\widetilde{\theta}_{\mathrm{os}} \cdot\vec{v}_{\mathrm{vortici}}=-\int d^2 x\,\widetilde{\theta}_{\mathrm{os}} \underbrace{\nabla \cdot \vec{v}_{\mathrm{vortici}}}_{=0}=0$$
Dove abbiamo ignorato il contributo dovuto al termine di bordo. Tuttavia, esso sarà proporzionale a $\int d\vec{s} \cdot \vec{v}_{\mathrm{vortici}} \widetilde{\theta}$ e inoltre $\vec{v}_{\mathrm{vortici}}$ sarà proporzionale a $\nabla \chi \sim \sum_i n_i \frac{1}{\abs{x}}$. Quindi il contributo del termine di bordo scala come
$$\sim \sum_i n_i \log{L}$$
e può essere ignorato pertanto solo nel caso in cui $\sim \sum_i n_i=0$, ovvero il gas di vortici deve avere carica totale nulla. Come abbiamo visto nell’articolo precedente, gli unici vortici effettivamente presenti hanno $n_i = \pm 1$ e quindi alla fine ci troviamo con un gas con un numero uguale di vortici e antivortici.
L’ultimo contributo viene interamente dai vortici ed è dato da
$$\begin{align*}
E_{\mathrm{vortici}} &= \frac{J}{2} \int d^2 x\, \vec{v}_{\mathrm{vortici}}^2 = \frac{J}{2} \int d^2 x\, \vec{E}^2 = \\
&= -\frac{J}{2} \int d^2 x\, \nabla \chi \cdot \vec{E} = \frac{J}{2} \int d^2 x\, \chi \nabla \cdot \vec{E} = \\
&= -\frac{J}{2} \int d^2 x\, \sum_i n_i \log{\pqty{\frac{\abs{x-x_j}}{a}}} 2\pi \sum_j n_j \delta(x-x_j) = \\
&= -\pi J \sum_{i,j} n_i n_j \int d^2 x\, \log{\pqty{\frac{\abs{x-x_j}}{a}}} \delta(x-x_j)= \\
&= \sum_i n_i^2 E_{\mathrm{nucleo}}-2\pi J \sum_{i<j} n_i n_j \log{\pqty{\frac{\abs{x_i-x_j}}{a}}}
\end{align*}$$
dove nella penultima riga abbiamo incontrato delle divergenze quando $i=j$ e le abbiamo regolarizzate ponendole uguali all’energia del nucleo.
Pertanto alla fine abbiamo $E = E_{\mathrm{os}}+E_{\mathrm{vortici}}$ e quindi la funzione di partizione si separa nel prodotto delle due funzioni di partizione,
$$Z= Z_{\mathrm{os}} Z_{\mathrm{vortici}}$$
Ora, $Z_{\mathrm{os}}$ non mostra alcuna transizione di fase come nell’argomentazione che abbiamo già visto col teorema di Mermin-Wagner. Al contrario, l’oggetto che ci interessa è la funzione di partizione dei vortici. Possiamo scriverla esplicitamente come segue. Poiché $n_i = \pm 1$, allora $\sum_i n_i^2 = \#\,\mathrm{vortici}$, per cui $E_{\mathrm{nucleo}}$ svolge il ruolo del potenziale chimico.
Inoltre poiché come abbiamo visto $\sum_i n_i = 0$, abbiamo necessariamente un numero uguale di vortici e antivortici. Pertanto alla fine la funzione di partizione sarà la funzione di partizione grancanonica con fugacità data dal “potenziale chimico” $E_{\mathrm{nucleo}}$ e la somma sui vari termini con numero fissato di vortici/ antivortici, notando che la somma del numero di vortici e di antivortici dev’essere un numero pari. Quindi
$$Z_{\mathrm{vortici}} = \sum_{N=0}^\infty \frac{y^{2N}}{(N!)^2}\int \pqty{\prod_{i=1}^{2N} d^2 x_i} \exp{\bqty{2\pi J \beta \sum_{i<j} n_i n_j \log{\pqty{\frac{\abs{x_i-x_j}}{a}}}}}$$
dove $y = e^{-\beta E_{\mathrm{nucleo}}}$ è la fugacità dei vortici e $2N$ è il numero di vortici + antivortici. Il corretto fattore combinatorio è $(N!)^2$ invece che $(2N)!$ perché siamo liberi di scambiare i vortici tra loro e gli antivortici tra loro, ma non vortici con antivortici o viceversa. Per quanto riguarda gli $n_i$, possiamo scegliere una convenzione qualsiasi: ad esempio i primi $N$ sono $+1$ e gli altri $N$ sono $-1$, oppure che si alternano tra $+1$ e $-1$, o qualunque altra.
La funzione di partizione dei vortici è estremamente complicata, ma dipende solo da due parametri: il prodotto $\beta J$ e la fugacità $y$. Nel prossimo articolo troveremo un modello molto più semplice che ha la stessa funzione di partizione.
Ad ogni modo, il meccanismo della transizione è già diventato più chiaro: sopra la temperatura critica i vortici sono liberi di muoversi nel campione e distruggono ogni ordine producendo una fase disordinata. Sotto la temperatura critica, invece, i vortici formano delle coppie vortice-antivortice che non hanno praticamente nessun effetto a lunga distanza e il campione può esibire una fase superfluida.
Nel prossimo articolo vedremo che il gas di Coulomb è equivalente ad un modello ben noto, il modello di Sine-Gordon.