In uno spazio di Hilbert esistono diversi tipi di convergenza, che si applicano alla convergenza di serie ma anche alla convergenza di operatori. È spesso difficile ricordare quale tipo corrisponde a quale definizione, per cui proponiamo questo articolo riassuntivo.
Convergenza di sequenze
Consideriamo una sequenza di vettori in uno spazio di Hilbert $x_n \in \mathcal{H}$ (ad esempio possiamo pensare ad ognuno degli $x_n$ come ad un vettore, oppure ad una funzione quadrato-integrabile).
La convergenza forte è definita usando la norma. Diciamo che $x_n \to x$ fortemente se
$$\lim_{n\to +\infty} \abs{\abs{x_n-x}}=0$$
Per definizione nello spazio di Hilbert abbiamo un prodotto interno $\braket{x}{y}$, che può essere usato per definire la norma di un vettore: $\abs{\abs{x}}^2 \equiv \braket{x}{x}$. La norma di un vettore è un numero, e quindi possiamo applicare le solite regole dei limiti.
La convergenza debole è invece definita usando solo il prodotto interno. Diciamo che $x_n \to x$ debolmente se
$$\lim_{n\to +\infty} \braket{x_n-x}{y}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall y \in \mathcal{H}$$
o, equivalentemente per la linearità del prodotto interno se
$$\lim_{n\to +\infty} \braket{x_n}{y}=\braket{x}{y}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall y \in \mathcal{H}$$
per ogni $y$ nello spazio di Hilbert.
Quali sono le relazioni tra i due tipi di convergenza? Vediamolo in alcune proposizioni.
Proposizione. (Forte implica debole) La convergenza forte implica la convergenza debole. Ovvero se $x_n \to x$ fortemente, allora $x_n \to x$ debolmente.
Dimostrazione. Se $x_n \to x$ fortemente, allora $\lim_{n\to +\infty} \abs{\abs{x_n-x}}=0$. Utilizzando la diseguaglianza di Cauchy-Schwarz abbiamo per ogni $y$ fissato,
$$\abs{\braket{x_n-x}{y}}\leq \abs{\abs{x_n-x}} \cdot \abs{\abs{y}}$$
per cui nel limite il lato destro va a zero e quindi abbiamo anche $\braket{x_n-x}{y}\to 0$, cioè la convergenza debole. $\square$
Il contrario non è vero: in generale la convergenza debole non implica la convergenza forte. Tuttavia ciò è vero in alcuni casi, che vediamo nella proposizione seguente.
Proposizione. (Talvolta debole implica forte) La convergenza debole implica la convergenza forte in alcuni casi. Ovvero se $x_n \to x$ debolmente, allora $x_n \to x$ fortemente se almeno una delle seguenti condizioni è soddisfatta:
- Lo spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ è finito-dimensionale;
- Oltre alla convergenza debole abbiamo anche la convergenza della norma, cioè sappiamo che $\lim_{n\to +\infty} \abs{\abs{x_n}} =\abs{\abs{x}}$.
Dimostrazione. Partiamo dalla seconda. Sappiamo che $x_n \to x$ debolmente e che $\lim_{n\to +\infty} \abs{\abs{x_n}} =\abs{\abs{x}}$. Allora possiamo scrivere
$$\abs{\abs{x_n-x}}^2 =\abs{\abs{x_n}}^2-\braket{x}{x_n}-\braket{x_n}{x}+\abs{\abs{x}}^2$$
Prendendo il limite, il primo e l’ultimo termine a destra convergeranno entrambi a $\abs{\abs{x}}^2$ per la convergenza della norma, e i due termini in mezzo convergeranno entrambi a $-\abs{\abs{x}}^2$ per la convergenza debole, per cui $\lim_{n\to +\infty} \abs{\abs{x_n-x}}=0$ e abbiamo la convergenza forte.
Per dimostrare la prima parte è abbastanza chiaro che se $x_n \to x$ debolmente nel caso finito-dimensionale, ogni singolo componente del vettore $x_n$ dovrà convergere a $x$ (nel caso infinito dimensionale no, perché dovremmo scambiare due limiti). Abbiamo quindi la convergenza della norma, per cui per il caso precedente la convergenza forte. $\square$
Quindi la distinzione forte/debole è rilevante solo nel caso infinito dimensionale (è un fatto generale che tutti i tipi di convergenza sono equivalenti nel caso finito-dimensionale). Inoltre abbiamo visto che in pratica l’elemento mancante alla convergenza debole per essere uguale alla convergenza forte è la convergenza della norma:
$$\mathrm{conv.\,\,forte\,\,}=\,\,\mathrm{conv.\,\,debole\,\,}+\mathrm{conv.\,\,della\,\,norma}$$
e la convergenza nella norma segue automaticamente dalla convergenza debole nel caso finito-dimensionale, ma non nel caso infinito-dimensionale.
A volte la convergenza debole è riformulata nel modo seguente. Non è molto utile ma a volte si trova, quindi lo scrivo per completezza. Si può dire che $x_n \to x$ debolmente se
$$\lim_{n\to +\infty} f(x_n)=f(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall f \in \mathcal{H}^*$$
dove $\mathcal{H}^*$ è lo spazio duale di $\mathcal{H}$, e quindi $f$ è un qualsiasi funzionale lineare su $\mathcal{H}$. L’equivalenza segue dal lemma di rappresentazione di Riesz, per cui c’è una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di $\mathcal{H}$ e $\mathcal{H}^*$, e in particolare ogni funzionale lineare $f$ può essere scritto come $f(x)=\braket{x}{y}$ per un qualche $y \in \mathcal{H}$.
Convergenza di operatori
Possiamo definire simili nozioni anche per la convergenza di operatori. In questo caso ne esistono moltissime, ma le più comuni sono tre: convergenza forte, debole e uniforme.
La convergenza forte per operatori è definita usando la convergenza forte per le sequenze. Infatti diciamo che una famiglia di operatori $T_n$ converge fortemente ad un operatore $T$, ovvero $T_n \to T$ fortemente, se
$$T_n x \to Tx\,\,\mathrm{fortemente}\,\,\,\forall x \in \mathcal{H}$$
La convergenza debole per operatori è definita in modo simile. Diciamo che $T_n \to T$ debolmente se
$$T_n x \to Tx\,\,\mathrm{debolmente}\,\,\,\forall x \in \mathcal{H}$$
Questi due tipi di convergenza per operatori sono quindi del tutto analoghi alla convergenza per le sequenze, e quindi soddisfano le stesse proprietà. Tuttavia in questo caso abbiamo anche un altro tipo di convergenza,
La convergenza uniforme per operatori è definita utilizzando la norma per gli operatori. Diciamo che $T_n \to T$ uniformemente se
$$\abs{\abs{T_n -T}} \to 0$$
dove in questo caso $\abs{\abs{\cdot}}$ è la norma operatoriale, che ricordiamo è così definita
$$\abs{\abs{A}}=\sup_{\abs{\abs{x}}=1} \abs{\abs{Ax}}$$
cioè è il massimo valore assunto dalla norma del vettore $Ax$ tra gli $x$ di norma unitaria.
In particolare, la convergenza uniforme è più forte della convergenza forte. Infatti la norma operatoriale soddisfa la disuguaglianza $\abs{\abs{Ax}} \leq \abs{\abs{A}}\cdot \abs{\abs{x}}$, che applicata ad $A = T_n-T$ dà
$$\abs{\abs{T_n x-Tx}} \leq \abs{\abs{T_n -T}} \cdot \abs{\abs{x}}$$
per cui se $T_n\to T$ uniformemente, allora $T_n\to T$ fortemente. Ovviamente nel caso finito dimensionale le due convergenze sono equivalenti, come al solito.
Esistono altri tipi di convergenza per operatori, ma sono più esotiche e più difficili da definire.