Un semplice sistema quantistico è descritto da due variabili coniugate, la posizione $x$ e l’impulso $p$. Avremo una funzione d’onda $\psi(x)$, e quindi una distribuzione spaziale di probabilità $|\psi(x)|^2$. Al contempo, avremo anche una funzione d’onda $\psi(p)$ nello spazio dell’impulso, cioè la trasformata di Fourier di $\psi(x)$, alla quale corrisponde una distribuzione di probabilità nello spazio dell’impulso $|\psi(p)|^2$.
Ora la domanda è: esiste una distribuzione congiunta che descriva entrambe? Ovvero, sia la distribuzione nello spazio delle posizioni che la distribuzione nello spazio dei momenti? In altre parole, cerchiamo una funzione $W(x,p)$ tale che
$$\int_{-\infty}^{+\infty} W(x,p) dp = |\psi(x)|^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\int_{-\infty}^{+\infty} W(x,p) dx = |\psi(p)|^2 \tag{1}$$
$W(x,p)$ è appunto la quasidistribuzione di Wigner, e vedremo poi perché quasi.
Un’ulteriore condizione
Le due condizioni $(1)$ non bastano per ricavare una formula esplicita per $W(x,p)$. Ci serve una proprietà in più, e richiederemo che $W$ si comporti bene rispetto alle rotazioni:
$$\begin{cases}x’ = x \cos\theta -p \sin\theta\\p’ = x \sin\theta +p \cos\theta\end{cases}$$
La rotazione è implementata sullo spazio di Hilbert da un operatore unitario $U_\theta$: definendo i soliti operatori di creazione e distruzione, $a = \pqty{x+ip}/\sqrt{2}$ e ponendo $U_\theta = \exp{(i\theta a^\dagger a)}$ otteniamo:
$$\begin{cases}x’ = U_\theta^\dagger x U_\theta= x \cos\theta -p \sin\theta\\p’ =U_\theta^\dagger p U_\theta= x \sin\theta +p \cos\theta\end{cases}$$
Quindi $U_\theta$ implementa una rotazione nello spazio $(x,p)$. Se lo stato iniziale è $\ket{\psi}$ con autofunzione $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$, allora lo stato trasformato sarà $U_\theta \ket{\psi}$ con autofunzione $\psi_\theta(x)=\bra{x}U_\theta \ket{\psi}$. Richiederemo quindi che la distribuzione di Wigner soddisfi:
$$p(x,\theta) \equiv \abs{\psi_\theta(x)}^2=\int_{-\infty}^{+\infty} W(x’,p’) dp \tag{2}$$
La formula esplicita
A questo punto, troviamo la formula per $W$ effettuando una trasformata di Fourier in entrambe le variabili $x,p$, ovvero:
$$\widetilde{W}(u,v) = \int dx \int dp\, e^{-i(xu+pv)}W(x,p)\\
W(x,p)=\frac{1}{\pqty{2\pi}^2} \int du \int dv\, e^{i(xu+pv)}\widetilde{W}(u,v)$$
Per trovare la formula esplicita, partiamo dalla $(2)$, che fornisce due diverse formule per $p(x,\theta)$. Effettuando una trasformata di Fourier di $p(x,\theta)$ nella variabile $x$ per le due forme diverse, ed eguagliandole, troviamo
$$\widetilde{W}(u,v) = \mathrm{tr}\bqty{\ket{\psi}\bra{\psi} e^{-i(u \hat{x}+v\hat{p})}} \tag{3}$$
L’operatore $\rho =\ket{\psi}\bra{\psi}$ è la matrice di densità del sistema puro che stiamo considerando, e più in generale la mappa tra operatori e funzioni
$$\hat{F} \to \widetilde{W}_F(u,v)=\mathrm{tr}\bqty{\hat{F} e^{-i(u \hat{x}+v\hat{p})}}$$
è detta trasformata di Fourier quantistica. Invertendo la trasformata di Fourier (classica) per trovare $W$ da $\widetilde{W}$ otteniamo quindi una mappa $\hat{F} \to W_F$ che è detta mappa di Wigner.
Dalla $(3)$ troviamo una formula esplicita per la funzione di Wigner, ovvero:
$$\widetilde{W}(u,v) =\int dx’ e^{-iu x’} \bra{x’-\frac{v}{2}}\rho\ket{x’+\frac{v}{2}}$$
e quindi invertendo,
$$W(x,p) = \frac{1}{2\pi} \int dv\, e^{ipv} \bra{x-\frac{v}{2}}\rho\ket{x+\frac{v}{2}}\tag{4}$$
che è la formula che cerchiamo.
Alcune proprietà e il quasi
La quasistribuzione di Wigner utili proprietà della distribuzione sono le seguenti:
- $W$ è reale.
- $W$ è normalizzata, cioè $\int dx \int dp\, W(x,p)=1$.
- $W$ è limitata, cioè $\abs{W(x,p)} \leq \frac{1}{\pi}$.
- Se $\ket{\alpha}$ è uno stato coerente, allora la sua distribuzione di Wigner è $W(x,p)= \frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{(x-x_0)^2/2} e^{(p-p_0)^2/2}$ e in questo senso gli stati coerenti sono localizzati e “quasi classici” (infatti $W \geq 0$, vedi sotto).
La distribuzione di probabilità $W(x, p)$ è detta quasidistribuzione perché nella stragrande maggioranza di casi prende alcuni valori negativi. Ciò è assurdo perché una probabilità non può essere negativa, e quindi $W(x,p)$ non può essere interpretata come una vera e propria distribuzione di probabilità. Ciò nonostante, trova un certo numero di applicazioni in diversi campi.
Un’applicazione: ordinamento degli operatori
A partire dalla formula esplicita, troviamo che per due operatori qualsiasi $\hat{A}$ e $\hat{B}$ abbiamo
$$\mathrm{tr}\bqty{\hat{A}\hat{B}} = 2\pi \int dx \int dp \, W_A(x,p) W_B(x,p)$$
Applicando il risultato alla matrice di densità $\hat{A}=\rho$ e a $\hat{B}=(\lambda \hat{x} +\mu \hat{p})^k$ otteniamo $W_B(x,p) = (\lambda x +\mu p)^k$ e quindi
$$\mathrm{tr}\bqty{\hat{\rho}(\lambda \hat{x} +\mu \hat{p})^k}= 2\pi \int dx \int dp\, W(x,p) (\lambda x +\mu p)^k$$
Espandendo entrambi i lati ed eguagliando le stesse potenze di $\lambda, \mu$ nel caso $k=2$ otteniamo ad esempio:
$$\mathrm{tr}\bqty{\hat{\rho}\frac{\hat{x}\hat{p} +\hat{p}\hat{x}}{2}}= 2\pi \int dx \int dp\, W(x,p) \,x p$$
Cioè al prodotto classico $xp$ corrisponde quantisticamente la simmetrizzazione degli operatori corrispondenti, cioè $\frac{\hat{x}\hat{p} +\hat{p}\hat{x}}{2}$. Ciò porta alla cosiddetta corrispondenza di Wigner, cioè la prescrizione secondo cui nel quantizzare gli operatori bisogna mandare $x^m p^n$ alla simmetrizzazione di $\hat{x}^m \hat{p}^n$