Nello scorso articolo abbiamo visto l’apparente contraddizione di una transizione di fase in un superfluido bidimensionale: gli esperimenti dicono che c’è, eppure la teoria proibisce una rottura spontanea di simmetria. Come riconciliare questi due aspetti?
In questo articolo vedremo come è possibile distinguere le due fasi senza usare un parametro d’ordine, ma ciò sarà possibile solo in un modo molto particolare.
Un parametro d’ordine non locale
Nel tipico esempio di transizione di fase abbiamo un parametro d’ordine che distingue le due fasi, ad esempio nel nostro caso $\langle \theta \rangle$. In $3$ o più dimensioni avremo una vera e propria transizione di fase: nella fase disordinata ad alta temperatura $\langle \theta \rangle=0$, e dev’essere così perché la simmetria rotazionale impedisce di scegliere un angolo piuttosto che un altro. Nella fase ordinata a bassa temperatura invece troviamo $\langle \theta \rangle=\theta_0 \neq 0$, e pertanto la simmetria dev’essere rotta. Questa è la solita storia, tuttavia nel nostro caso (due dimensioni) come abbiamo visto non può esserci rottura spontanea di simmetria, e quindi non esisterà nessun parametro d’ordine di questo tipo a indicare la transizione di fase.
In questo caso la transizione sarà indicata da un parametro d’ordine non locale, ovvero la funzione di correlazione. Se indichiamo con $\vec{s}(x)=(\cos{\theta(x)},\sin{\theta(x)})$ la variabile di spin associata a $\theta(x)$, la funzione di correlazione sarà data da
$$G(r) = \langle \vec{s}(x) \cdot \vec{s}(0) \rangle$$
dove $r=\abs{x}$. In linea di massima avremmo dovuto scegliere due punti $x$ e $y$, ma si suppone che la funzione di correlazione è invariante per traslazioni. Utilizzando la definizione degli $\vec{s}$ abbiamo in termini delle quantità definite prima,
$$G(r) = \langle \cos\pqty{\theta(x)-\theta(0)}\rangle= \mathrm{Re}\langle e^{i\pqty{\theta(x)-\theta(0)}}\rangle = e^{-\langle \pqty{\theta(x)-\theta(0)}^2\rangle}$$
dove nel passare all’ultima formula abbiamo usato la cosiddetta identità di Wick, valida per azioni/hamiltoniane quadratiche, che ci tornerà utile anche poi:
$$\langle e^{\sum_a B_a \phi_a}\rangle = e^{\frac12 \sum_{a,b} B_a \langle\phi_a \phi_b\rangle B_a}$$
Nel nostro modello possiamo calcolare $G(r)$ esattamente nei due limiti ad alta e bassa temperatura. Vediamo come si comporta. Nel limite ad alta temperatura dobbiamo utilizzare l’azione discreta, cioè l’equazione $(2)$ del primo articolo. Il calcolo è parecchio complicato in questo caso ed è descritto nel libro di Altland & Simons in modo abbastanza intuitivo, e in modo rigoroso ma difficile nel libro di Itzykson & Drouffe. Si ottiene
$$G(r) \sim e^{-r/\xi}$$
dove $\xi = a/\log{\pqty{2/\beta J}}$, ovvero ad alte temperature abbiamo la tipica situazione del decadimento esponenziale delle correlazioni, cioè il disordine. Al contrario, a bassa temperatura utilizziamo l’azione $(1)$, che è quadratica, e il calcolo è un esercizio standard sugli integrali sui cammini (come nel primo articolo per questo calcolo supponiamo $\theta \in \mathbb{R}$ invece che $\theta \in [0, 2\pi]$). Otteniamo:
$$G(r) \sim \frac{1}{r^\eta}$$
dove $\eta = 1/(2\pi\beta J)$. Cioè a basse temperature le correlazioni decadono algebricamente, per cui propriamente parlando non c’è ordine, ma neppure disordine come nella fase ad alta temperatura.
In generale, abbiamo diverse possibilità per la funzione di correlazione:
- Se $G(r) \to c \neq 0$ per $r$ grande, abbiamo ordine a lungo raggio. Cioè per quanto distanti, gli spin acquisiranno tutti lo stesso valore.
- Se $G(r) \to 0$ esponenzialmente allora abbiamo disordine. Cioè spin distanti sono totalmente scorrelati.
- Se $G(r) \to 0$ algebraicamente, cioè come una potenza, allora abbiamo ordine a quasi-lungo raggio.
La terza situazione è strana: solitamente il decadimento a zero come una potenza avviene solo in un punto, cioè alla transizione di fase dove la lunghezza di correlazione diverge. Tuttavia, come abbiamo visto, è esattamente ciò che succede in questo caso: come suggerisce Mermin-Wagner, non abbiamo una situazione di vero e proprio ordine a lungo raggio, ma qualcosa di intermedio che ci si avvicina molto.
Nel prossimo articolo offriremo una prima semplice derivazione della transizione, e vedremo che è originata dalla proliferazione di eccitazioni chiamate “vortici”.