Il teorema di Glasser è una strana identità che permette di calcolare alcuni integrali, tra cui alcuni di interesse fisico. Nella sua forma piu nota afferma che:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f\pqty{x-\frac1x}dx =\int_{-\infty}^{+\infty} f\pqty{x} dx$$
Laddove vi siano delle singolarità, l’integrale va interpretato come valore principale di Cauchy. Piu in generale è valido affermare che
$$\int_{-\infty}^{+\infty} f\pqty{\abs{a}x-\sum_i \frac{\abs{c_i}}{x-b_i}}dx =\int_{-\infty}^{+\infty} f\pqty{x} dx$$
La dimostrazione non è interamente elementare, e può essere trovata qui.
Grazie a questo teorema possiamo calcolare alcuni integrali difficili in maniera relativamente facile. Ad esempio,
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+1} dx$$
Prima di tutto dividiamo per $x^2$ ottenendo
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+1} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+1/x^2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\pqty{x-\frac{1}{x}}^2+2} dx $$
dove nell’ultima riga abbiamo semplicemente raccolto il quadrato. Per il teorema di Glasser possiamo semplicemente rimpiazzare $x-\frac{1}{x}$ con $x$, ottenendo
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+1} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+2} dx = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$$
dove l’ultimo è un integrale standard.
Alla stessa maniera,
\begin{align*}
\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left\{ -x^2 -\frac{a^2}{x^2} \right\} dx &= \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left\{ -\left(x -\frac{a}{x} \right)^2 – 2 a \right\} dx =\\
&=\int_{-\infty}^{\infty} \exp\{-x^2 -2 a \} \, dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \exp\{-2 a \}
\end{align*}
Possiamo usare il teorema di Glasser anche per il compito inverso: ovvero generare integrali estremamente complessi. Ad esempio, invertendo il primo esempio abbiamo:
$$\frac{\pi}{\sqrt{2}} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+2} dx = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+1} dx$$
Adesso possiamo applicare un’altra trasformazione, magari piu complicata, tipo
$$ x \to a x- \frac{b}{x-c}$$
ottenendo una formula parecchio piu complessa che non vale neanche la pena scrivere. Possiamo continuare così fino a generare formule di complessità enorme.