Ci sono alcuni trucchi simpatici per generare integrali in apparenza molto difficili, ma che hanno in realtà una soluzione semplice.
Primo metodo
Il primo metodo si basa sull’identità
$$\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx = \frac{b-a}{2}$$
valida per qualsiasi funzione $f$! È abbastanza sorprendente, ma si basa su principi di simmetria. Vediamo la dimostrazione. Effettuando la sostituzione $x \to a+b-x$ abbiamo
$$I\equiv \int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx =\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx$$
Possiamo quindi aggiungere e sottrarre $f(x)$ dal numeratore:
$$I = \int_a^b \frac{f(a+b-x)+f(x)-f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx$$
E alla fine otteniamo
$$I = \int_a^b dx- \int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx=b-a-I$$
da cui segue il risultato $I=(b-a)/2$. Utilizzando questo metodo abbiamo ad esempio che
$$\int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos(x)}+\sqrt{\sin(x)}} dx = \frac{\pi}{4}$$
o ugualmente
$$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{27}(x)}{\cos^{27}(x)+\sin^{27}(x)} dx = \frac{\pi}{4}$$
Oppure anche
$$\int_0^6 \frac{\log(x^2)}{\log(x^2)+\log(36-12x+x^2)} dx = 3$$
Secondo metodo
Il secondo metodo si basa sull’analisi complessa, in particolare sulla formula integrale di Cauchy, secondo cui
$$\frac{1}{2\pi i}\oint \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)$$
per ogni funzione complessa olomorfa $f$. Applicandolo a $z_0=0$ abbiamo
$$\oint \frac{f(z)}{z}dz = 2\pi i f(0)$$
Scegliamo come curva di integrazione un cerchio di raggio $r$ all’origine, per cui $z=re^{i\varphi}$, dove $\varphi$ varia da $0$ a $2\pi$. Abbiamo quindi
$$2\pi i f(0) = \oint \frac{f(z)}{z}dz=\int_0^{2\pi} \frac{f(r e^{i\varphi})}{re^{i\varphi}}r i e^{i\varphi} d\varphi = i\int_0^{2\pi} f(r e^{i\varphi})d\varphi$$
Prendendo la parte reale e immaginaria abbiamo quindi
$$\int_0^{2\pi} \mathrm{Re} f(r e^{i\varphi})d\varphi=2\pi \mathrm{Re}f(0)\\
\int_0^{2\pi} \mathrm{Im} f(r e^{i\varphi})d\varphi=2\pi \mathrm{Im}f(0)$$
In questa maniera possiamo generare integrali arbitrariamente ardui. Ad esempio prendendo
$$f(z)=e^{z^2} \cos{z}$$
con la parte reale e $r=1$ abbiamo
$$f(e^{i\varphi})=e^{e^{2i\varphi}} \frac{1}{2}\pqty{ e^{ie^{i\varphi}}+e^{-ie^{i\varphi}}}=\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}+i\sin{2\varphi}}\pqty{ e^{i\cos{\varphi}-\sin{\varphi}}+e^{-i\cos{\varphi}+\sin{\varphi}}}=\\
=\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}+i\sin{2\varphi}+i\cos{\varphi}}+\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}+\sin{\varphi}+i\sin{2\varphi}-i\cos{\varphi}}$$
Pertanto
$$\mathrm{Re} f(e^{i\varphi})=\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}+\cos{\varphi}}}+\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}+\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}-\cos{\varphi}}}$$
e quindi otteniamo l’identità orrenda
$$\int_0^{2\pi}\bqty{e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}+\cos{\varphi}}}+e^{\cos{2\varphi}+\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}-\cos{\varphi}}} }d\varphi=4\pi$$
Possiamo anche manipolarla ulteriormente mandando $\varphi \to -\varphi$ nel secondo termine, ottenendo
$$\int_{-2\pi}^{2\pi}e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}+\cos{\varphi}}}d\varphi=4\pi$$
Procedendo alla stessa maniera possiamo sbizzarrirci a piacere.