Metodi per generare integrali difficili e orrendi

Ci sono alcuni trucchi simpatici per generare integrali in apparenza molto difficili, ma che hanno in realtà una soluzione semplice.

Primo metodo

Il primo metodo si basa sull’identità

$$\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx = \frac{b-a}{2}$$

valida per qualsiasi funzione $f$! È abbastanza sorprendente, ma si basa su principi di simmetria. Vediamo la dimostrazione. Effettuando la sostituzione $x \to a+b-x$ abbiamo

$$I\equiv \int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx =\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx$$

Possiamo quindi aggiungere e sottrarre $f(x)$ dal numeratore:

$$I = \int_a^b \frac{f(a+b-x)+f(x)-f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx$$

E alla fine otteniamo

$$I = \int_a^b dx- \int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)} dx=b-a-I$$

da cui segue il risultato $I=(b-a)/2$. Utilizzando questo metodo abbiamo ad esempio che

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin(x)}}{\sqrt{\cos(x)}+\sqrt{\sin(x)}} dx = \frac{\pi}{4}$$

o ugualmente

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{27}(x)}{\cos^{27}(x)+\sin^{27}(x)} dx = \frac{\pi}{4}$$

Oppure anche

$$\int_0^6 \frac{\log(x^2)}{\log(x^2)+\log(36-12x+x^2)} dx = 3$$

Secondo metodo

Il secondo metodo si basa sull’analisi complessa, in particolare sulla formula integrale di Cauchy, secondo cui

$$\frac{1}{2\pi i}\oint  \frac{f(z)}{z-z_0}dz = f(z_0)$$

per ogni funzione complessa olomorfa $f$. Applicandolo a $z_0=0$ abbiamo

$$\oint  \frac{f(z)}{z}dz = 2\pi i f(0)$$

Scegliamo come curva di integrazione un cerchio di raggio $r$ all’origine, per cui $z=re^{i\varphi}$, dove $\varphi$ varia da $0$ a $2\pi$. Abbiamo quindi

$$2\pi i f(0) = \oint  \frac{f(z)}{z}dz=\int_0^{2\pi}  \frac{f(r e^{i\varphi})}{re^{i\varphi}}r i e^{i\varphi} d\varphi = i\int_0^{2\pi} f(r e^{i\varphi})d\varphi$$

Prendendo la parte reale e immaginaria abbiamo quindi

$$\int_0^{2\pi} \mathrm{Re} f(r e^{i\varphi})d\varphi=2\pi \mathrm{Re}f(0)\\ \int_0^{2\pi} \mathrm{Im} f(r e^{i\varphi})d\varphi=2\pi \mathrm{Im}f(0)$$

In questa maniera possiamo generare integrali arbitrariamente ardui. Ad esempio prendendo

$$f(z)=e^{z^2} \cos{z}$$

con la parte reale e $r=1$ abbiamo

$$f(e^{i\varphi})=e^{e^{2i\varphi}} \frac{1}{2}\pqty{ e^{ie^{i\varphi}}+e^{-ie^{i\varphi}}}=\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}+i\sin{2\varphi}}\pqty{ e^{i\cos{\varphi}-\sin{\varphi}}+e^{-i\cos{\varphi}+\sin{\varphi}}}=\\ =\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}+i\sin{2\varphi}+i\cos{\varphi}}+\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}+\sin{\varphi}+i\sin{2\varphi}-i\cos{\varphi}}$$

Pertanto

$$\mathrm{Re} f(e^{i\varphi})=\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}+\cos{\varphi}}}+\frac{1}{2}e^{\cos{2\varphi}+\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}-\cos{\varphi}}}$$

e quindi otteniamo l’identità orrenda

$$\int_0^{2\pi}\bqty{e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}+\cos{\varphi}}}+e^{\cos{2\varphi}+\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}-\cos{\varphi}}} }d\varphi=4\pi$$

Possiamo anche manipolarla ulteriormente mandando $\varphi \to -\varphi$ nel secondo termine, ottenendo

$$\int_{-2\pi}^{2\pi}e^{\cos{2\varphi}-\sin{\varphi}}\cos{\pqty{\sin{2\varphi}+\cos{\varphi}}}d\varphi=4\pi$$

Procedendo alla stessa maniera possiamo sbizzarrirci a piacere.