Abbiamo già visto in un precedente articolo l’enunciato del teorema di positività dell’energia:
Teorema (positività dell’energia) Per dati iniziali $(\Sigma, h_{ab})$ geodeticamente completi e asintoticamente piatti, se il tensore energia-impulso rispetta la condizione dominante dell’energia, allora $E\geq 0$ ed è zero se e solo se lo spaziotempo è di Minkowski.
Possiamo quindi dimostrare il teorema seguendo lo schema della famosa dimostrazione di Edward Witten, pubblicata nel suo articolo, A new proof of the positive energy theorem.
Nell’articolo seguente, la metrica ha segnatura $(-, +,+,+)$. Consideriamo un’ipersuperficie tipo spazio $\Sigma$ la cui normale unitaria tipo tempo è $t^a$. La metrica indotta su $\Sigma$ è $h_{ab} = g_{ab}+t_a t_b$. Utilizzeremo le matrici di Dirac e le tetradi. La metrica è asintoticamente piatta, il che significa in questo caso:
$$g_{ab} = \eta_{ab}+\mathcal{O}(1/r)\\
\partial_c g_{ab} = \mathcal{O}(1/r^2)$$
La dimostrazione segue lo schema seguente. Consideriamo uno spinore $\epsilon$ che soddisfi l’equazione di Witten $\not D \epsilon = 0$ dove l’operatore di Witten $\not D = h^{ab}\gamma_a \nabla_b$ è un analogo dell’operatore di Dirac. (L’operatore utilizzato da Witten nel suo articolo è più semplice del nostro; in realtà ciò è un piccolo errore nell’articolo, come affermato dallo stesso Witten in una nota nell’ultima pagina). Per uno spinore $\epsilon$ che soddisfi l’equazione di Witten, possiamo dimostrare che la quantità:
$$S = \int_{\infty} dS_a \epsilon^\dagger h^{ab}\nabla_b \epsilon $$
è positiva. In questo contesto $\int_{\infty}$ significa integrare all’interno di $\Sigma$ su superfici sferiche di raggio $R$ e poi prendere il limite per $R\to \infty$.
A questo punto possiamo calcolare $S$ in un secondo modo, in termini di energia e impulso. Troviamo infatti che se $\epsilon \to \epsilon_0$ per $r\to \infty$ allora
$$S = 4\pi G(\epsilon_0^\dagger \epsilon_0 E + \epsilon_0^\dagger \gamma^0 \gamma^k P_k \epsilon_0)$$
Possiamo quindi dimostrare che possiamo scegliere $\epsilon$ in modo tale che $\epsilon_0$ sia un’autovettore di $\gamma^0 \gamma^k P_k$ con autovalore $-|P|$. Se ciò è vero, allora abbiamo $S= 4\pi G \epsilon_0^\dagger \epsilon_0(E -|\mathbf P|)$, per cui dalla positività di $S$ prima dimostrata segue $E \geq |\mathbf P|\geq 0$.
Iniziamo con la dimostrazione vera e propria.
Lemma 1. (Prima formula per $S$) Se $\epsilon$ è uno spinore su $\Sigma$ che soddisfa l’equazione di Witten $\not D \epsilon = h^{ab}\gamma_a \nabla_b \epsilon = 0$, allora
$$S\equiv \int_{\infty} dS_a \epsilon^\dagger h^{ab}\nabla_b \epsilon = \int_{\Sigma} d^3 \mathbf x\sqrt{\det{h}} \bqty{h^{ab}(\nabla_a \epsilon)^\dagger (\nabla_b \epsilon)+8\pi \epsilon^\dagger t^c \gamma_c t^d \gamma^e T_{de}\epsilon}$$
Dimostrazione. Prima di tutto trasformiamo l’integrale sulla superficie all’infinito in un integrale su $\Sigma$. Chiamando $X^a = \epsilon^\dagger h^{ab} \nabla_b \epsilon$ abbiamo:
$$\begin{align*}
S &= \int_{\infty} dS_{ab} t^a X^b =\int_{\infty} dS_{ab} \frac{1}{2}(t^a X^b – t^b X^a) =\,\,\,\,\,\,\,\,\, \text{(antisimmetria di dS)}\\
&=\int_{\Sigma} d^3 \mathbf x\sqrt{\det{h}}\, t_b \nabla_a (t^a X^b – t^b X^a)=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{(teorema della divergenza)}\\
&=\int_{\Sigma} d^3 \mathbf x\sqrt{\det{h}} \bqty{\underbrace{X^b t_b}_{=0,\,\,X \perp t} \nabla_a t^a +t^a t^b \nabla_a X_b -X^a \underbrace{t^b\nabla_a t_b}_{\propto \nabla_a(t^b t_b) =\nabla_a(-1)=0} -\underbrace{t^b t_b}_{=-1} \nabla_a X^a}=\\
&=\int_{\Sigma} d^3 \mathbf x\sqrt{\det{h}} \bqty{t^a t^b \nabla_a X_b + g^{ab}\nabla_a X_b}=\\
&=\int_{\Sigma} d^3 \mathbf x\sqrt{\det{h}}\, h^{ab} \nabla_a X_b
\end{align*}$$
Possiamo quindi semplificare l’integranda esplicitando $X$:
$$\begin{align*}
h^{ab} \nabla_a X_b &= h^{ab} \nabla_a (\epsilon^\dagger h^{c}_{\,\,b} \nabla_c \epsilon)=\\
&=h^{ac}\nabla_a (\epsilon^\dagger) \nabla_c \epsilon+h^{ac}\epsilon^\dagger \nabla_a \nabla_c \epsilon+h^{ab} \epsilon^\dagger \nabla_c \epsilon \nabla_a h^{c}_{\,\,b}
\end{align*}$$
dove abbiamo usato la proprietà $h^{ab}h^{c}_{\,\,b}=h^{ac}$, che può essere verificata direttamente. Possiamo quindi usare le proprietà di coniugazione degli spinori per semplificare il primo termine. Se $\psi$ è uno spinore, allora per definizione $\bar \psi =\psi^\dagger \gamma^a t_a$ (il motivo del termine $\gamma^a t_a$ è che in relatività generale non abbiamo più una scelta canonica per la matrice gamma corrispondente alla direzione temporale). Invertendo abbiamo $\psi^\dagger = -\bar \psi \gamma^b t_b$, com’è possibile verificare inserendo quest’ultima nella definizione di spinore coniugato e usando la simmetria del termine risultante $t_a t_b$. Quindi:
$$\begin{align*}
(\nabla_a \epsilon)^\dagger &= -\overline{\pqty{\nabla_a \epsilon}} \gamma^{b}t_b =-\nabla_a \bar{\epsilon} \gamma^{b}t_b =\\
&=-\nabla_a \pqty{\epsilon^\dagger \gamma^c t_c} \gamma^{b}t_b =-\gamma^b \gamma^c t_b t_c \nabla_a \epsilon^\dagger -\epsilon^\dagger \gamma^c \gamma^b t_b \nabla_a t_c =\\
&=\nabla_a \epsilon^\dagger -\epsilon^\dagger \gamma^c \gamma^b t_b \nabla_a t_c
\end{align*}$$
Per cui ritornando alla formula precedente e sostituendo:
$$h^{ab} \nabla_a X_b = h^{ac}(\nabla_a \epsilon)^\dagger \nabla_c \epsilon+h^{ac}\epsilon^\dagger \gamma^d \gamma^b t_b \nabla_a t_d \nabla_c \epsilon+h^{ac}\epsilon^\dagger \nabla_a \nabla_c \epsilon+h^{ab} \epsilon^\dagger \nabla_c \epsilon \nabla_a h^{c}_{\,\,b}$$
Questa formula può essere semplificata. Infatti se $\not D \epsilon = 0$, allora
$$0 = \not D^2 \epsilon = h^{ab} \gamma_a \nabla_b (h^{cd} \gamma_c \nabla_d \epsilon)=h^{ab} \gamma_a \gamma_c \nabla_d \epsilon \nabla_b h^{cd}+h^{ab} h^{cd} \gamma_a \gamma_c \nabla_b \nabla_d \epsilon$$
Concentriamoci sul secondo termine. Separando il prodotto delle gamma nella loro parte simmetrica e antisimmetrica abbiamo:
$$\begin{align*}
h^{ab} h^{cd} \gamma_a \gamma_c \nabla_b \nabla_d \epsilon &= h^{ab} h^{cd} (g_{ac} + \gamma_{[a} \gamma_{c]}) \nabla_b \nabla_d \epsilon =\\
&= h^{bd} \nabla_b \nabla_d \epsilon + h^{ab} h^{cd} \gamma_{[a} \gamma_{c]} \nabla_{[b} \nabla_{d]} \epsilon= \,\,\,\,\,\,\,\text{(Identita’ di Ricci)}\\
&= h^{bd} \nabla_b \nabla_d \epsilon +\frac{1}{4} h^{ab} h^{cd} \gamma_{[a} \gamma_{c]} \gamma_{[e} \gamma_{f]} R_{bd}^{\,\,\,\,ef} \epsilon
\end{align*}$$
Nella seconda riga abbiamo notato che la simmetria dei due tensori $h$ e l’antisimmetria di $\gamma_{[a} \gamma_{c]}$ implica l’antisimmetria del termine rispetto allo scambio $b \leftrightarrow d$, per cui abbiamo antisimmetrizzato le derivate parziali. Sostituendo nella formula precedente il termine con la derivata doppia di $\epsilon$ abbiamo:
$$\begin{align*}
h^{ab} \nabla_a X_b &= h^{ab}(\nabla_a \epsilon)^\dagger \nabla_b \epsilon-\frac{1}{4} h^{ab} h^{cd} \epsilon^\dagger \gamma_{[a} \gamma_{c]} \gamma_{[e} \gamma_{f]} R_{bd}^{\,\,\,\,ef} \epsilon+\\
&+h^{ac}\epsilon^\dagger \gamma^d \gamma^b t_b \nabla_a t_d \nabla_c \epsilon+h^{ab} \epsilon^\dagger \nabla_c \epsilon \nabla_a h^{c}_{\,\,b}-h^{ab} \epsilon^\dagger \gamma_a \gamma_c \nabla_d \epsilon \nabla_b h^{cd}
\end{align*}$$
La bella notizia è che i tre termini della seconda riga si cancellano a vicenda! Per dimostrarlo utilizzeremo ripetutamente la formula $\nabla_a t_b = K_{ab} + t_a \omega_b$ dove $K_{ab}$, la curvatura estrinseca, è un tensore simmetrico, e $\omega$ è il tensore accelerazione; la formula l’abbiamo già vista nell’articolo sulle ipersuperfici in relatività generale. Quindi:
$$\begin{align*}
\,\,\,\,&h^{ac}\epsilon^\dagger \gamma^d \gamma^b t_b \nabla_a t_d \nabla_c \epsilon+h^{ab} \epsilon^\dagger \nabla_c \epsilon \nabla_a h^{c}_{\,\,b}-h^{ab} \epsilon^\dagger \gamma_a \gamma_c \nabla_d \epsilon \nabla_b h^{cd}=\\
&=h^{ac}\epsilon^\dagger \gamma^d \gamma^b t_b (K_{ad}+\underbrace{t_a}_{=0,\,\,h^{ac} t_a = 0} \omega_d) \nabla_c \epsilon+h^{ab} \epsilon^\dagger \nabla_c \epsilon \nabla_a (t^c t_b) -h^{ab} \epsilon^\dagger \gamma_a \gamma_c \nabla_d \epsilon \nabla_b (t^c t^d)=\\
&=h^{ac}\epsilon^\dagger \gamma^d \gamma^b t_b K_{ad}\nabla_c \epsilon+h^{ab} \epsilon^\dagger \nabla_c \epsilon \bqty{t^c(K_{ab}+\underbrace{t_a}_{=0,\,\,h^{ab} t_a = 0} \omega_b)+\underbrace{t_b}_{=0,\,\,h^{ab} t_b = 0} \nabla_a t^c}+\\
&\,\,\,\,\,\,\,\,\,- h^{ab} \epsilon^\dagger \gamma_a \gamma_c \nabla_d \epsilon \bqty{t^c(K_b^{\,\,d}+\underbrace{t_b}_{=0,\,\,h^{ab} t_b = 0} \omega^d)+t^d (K_b^{\,\,c}+\underbrace{t_b}_{=0,\,\,h^{ab} t_b = 0} \omega^c)}=\\
&=\underbrace{h^{ac}K_{ad}}_{=K^c_{\,\,d}\,\, \mathrm{since}\,\,K \perp t}\epsilon^\dagger \gamma^d \gamma^b t_b \nabla_c \epsilon+\underbrace{h^{ab}K_{ab}}_{=K\,\, \mathrm{since}\,\, K \perp t} \epsilon^\dagger t^c \nabla_c \epsilon -h^{ab} \epsilon^\dagger \gamma_a \gamma_c \nabla_d \epsilon \pqty{t^c K_b^{\,\,d}+t^d K_b^{\,\,c}}=\\
&=\underbrace{\epsilon^\dagger \gamma_d \gamma^b t_b K^{dc}\nabla_c \epsilon- \epsilon^\dagger \gamma_a t^c \gamma_c K^{ad} \nabla_d \epsilon}_{\mathrm{si\,cancellano}}+\underbrace{K \epsilon^\dagger t^c \nabla_c \epsilon-\epsilon^\dagger \gamma_a \gamma_c K^{ac} t^d\nabla_d \epsilon}_{\mathrm{si\,cancellano}}=0
\end{align*}$$
Gli ultimi due termini sono uguali perché $K_{ab}$ è simmetrico, per cui $\gamma_a \gamma_c K^{ac}= \gamma_{ac}K^{ac} = K$. Gli unici termini che rimangono nell’integranda sono quindi:
$$\begin{align*}
h^{ab} \nabla_a X_b &= h^{ab}(\nabla_a \epsilon)^\dagger \nabla_b \epsilon-\frac{1}{4} h^{ab} h^{cd} \epsilon^\dagger \gamma_{[a} \gamma_{c]} \gamma_{[e} \gamma_{f]} R_{bd}^{\,\,\,\,ef} \epsilon\end{align*}$$
Possiamo ora esprimere il secondo termine in funzione del tensore energia impulso. Chiamando infatti $Z_d = R_{d}^{\,\,aef}\gamma_a\gamma_e \gamma_f$ abbiamo:
$$\begin{align*}
Z_d &= R_{d}^{\,\,aef}\gamma_a\gamma_e \gamma_f = \\
& = (-R_{d}^{\,\,efa}-R_{d}^{\,\,fae})\gamma_a\gamma_e \gamma_f=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\text{identita’ di Bianchi ciclica})\\
& = -R_{d}^{\,\,efa}(\gamma_e\gamma_f \gamma_a+2g_{ae}\gamma_f-2g_{af}\gamma_e)-R_{d}^{\,\,fae}(\gamma_f\gamma_a \gamma_e+2g_{ef}\gamma_a-2g_{af}\gamma_e)=\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\text{permutando le}\,\, \gamma)\\
&= -2Z_{d}-2R_{d}^{\,\,f}\gamma_f +0-2R_{d}^{\,\,a}\gamma_a-2R_{d}^{\,\,e}\gamma_e=\\
&= -2Z_{d}-6R_{d}^{\,\,a}\gamma_a
\end{align*}$$
Per cui $Z_d \equiv R_{d}^{\,\,aef}\gamma_a\gamma_e \gamma_f =-2R_{d}^{\,\,f}\gamma_f$ e per la simmetria del tensore di Ricci, $Z_d \gamma^d = R_{d}^{\,\,aef}\gamma_a\gamma_e \gamma_f \gamma^d= -2R$. Possiamo quindi tornare al termine che c’interessava. Utilizzando le simmetrie del tensore di Riemann, possiamo de-antisimmetrizzare le matrici gamma, per cui:
$$\begin{align*}
h^{ab} h^{cd} R_{bd}^{\,\,\,\,ef} \gamma_{[a} \gamma_{c]} \gamma_{[e} \gamma_{f]} &= (g^{ab} + t^a t^b)(g^{cd} + t^c t^d) R_{db}^{\,\,\,\,ef}\gamma_c \gamma_a \gamma_e \gamma_f=\\
&= R^{caef} \gamma_c \gamma_a \gamma_e \gamma_f + 2 t^c t^d R_{d}^{\,\,aef} +\underbrace{t^a t^b t^c t^d R_{db}^{\,\,\,\,ef} \gamma_c \gamma_a \gamma_e \gamma_f}_{=0,\,\,\mathrm{per\,simmetria}}=\\
&= -2R -4 t^c t^d R_{de} \gamma_c \gamma^e =\\
&= 16\pi T -4 t^c t^d (8\pi T_{de}-4\pi g_{de}T) \gamma_c \gamma^e = \,\,\,\,\,\text{(equazione di Einstein)}\\
&= -32 \pi t^c t^d T_{de}\gamma_c \gamma^e
\end{align*}$$
Sostituendo il risultato otteniamo quanto richiesto e la dimostrazione del lemma è conclusa. $\square$
Nel prossimo articolo ricaveremo delle conseguenze dal presente lemma.