Consideriamo il problema di Keplero, ovvero il problema di un corpo soggetto alla gravità del Sole. Nella formulazione analitica, la Lagrangiana sarà
$$L = \frac12 \pqty{\dv{\vec{x}}{t}}^2+\frac{k}{r}$$
dove $r = \abs{\vec{x}}$. Sappiamo tutti che abbiamo immediatamente due quantità conservate:
- Poiché la Lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, allora l’energia è conservata.
- Poiché la Lagrangiana è simmetrica rispetto alle rotazioni, allora il momento angolare è conservato.
In altre parole abbiamo due quantità conservate:
$$E = \frac12 \pqty{\dv{\vec{x}}{t}}^2-\frac{k}{r}\\
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$
È facile dimostrare a partire dalle equazioni del moto che queste sono quantità conservate. Tuttavia esiste una simmetria nascosta non collegata a queste due simmetrie così evidenti. La quantità conservata associata a questa simmetria è il vettore di Runge-Lenz, dato da
$$\vec{R} = \vec{p} \times \vec{L} -k\hat{r}$$
In termini di sistemi integrabili, abbiamo l’energia, il vettore momento angolare e il vettore di Runge-Lenz. Non tutte queste quantità sono indipendenti l’una dall’altra, ma in totale abbiamo comunque $5$ integrali primi indipendenti. Il sistema in questo caso ha sei gradi di libertà (3 posizioni e 3 momenti) e basterebbero $3$ integrali primi per renderlo integrabile: avendone cinque le traiettorie sono estremamente determinate, e infatti il sistema è detto superintegrabile. Questo fatto è collegato al teorema di Bertrand, secondo cui il potenziale newtoniano è l’unico (insieme al potenziale armonico) tale che tutte le orbite limitate (che non fuggono ad infinito) sono anche chiuse (cioè periodiche).
Per altre informazioni, potete dare un’occhiata a questa domanda su MathOverflow.