Il teorema di Bohr-van Leeuwen è un teorema nella fisica statistica classica, secondo cui non è possibile avere una magnetizzazione non nulla in un sistema di particelle classico in equilibrio. In questo senso fenomeni come paramagnetismo, diamagnetismo e ferromagnetismo devono necessariamente avere un’origine quantistica.
Consideriamo un sistema di $N$ particelle soggetto ad un campo magnetico con un potenziale esterno. L’Hamiltoniana sarà
$$H=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^N\pqty{\vec{p}_i-\frac{e}{c}\vec{A}_i}^2+eV(\vec{r}_1,\dots\vec{r}_N)$$
La magnetizzazione del sistema è
$$\vec M = \pdv{F}{\vec B}$$
dove $\vec B$ è il campo magnetico e $F$ è l’energia libera, che può essere espressa come al solito tramite la formula $F = -k \log Z$ dove $Z$ è la funzione di partizione. La funzione di partizione è come al solito:
$$Z=\int d\vec{r}_1 \dots d\vec{r}_N d\vec{p}_1\dots d\vec{p}_N\ e^{-\beta H}$$
A questo punto possiamo effettuare la sostituzione $\vec{p}_i-\frac{e}{c}\vec{A}_i \to \vec{p}_i$ per ogni $\vec{p}_i$ (lecita perché integriamo ogni componente di $\vec{p}_i$ da $-\infty$ a $+\infty$). In questa maniera abbiamo rimosso ogni dipendenza dal potenziale vettore, e quindi ogni dipendenza da $\vec{B}$. Pertanto
$$\vec M = 0$$
e quindi la magnetizzazione è nulla.
Dato che in questo caso il potenziale vettore è un campo esterno dato, si può dibattere se il teorema si applica anche al caso ferromagnetico.
In ogni modo, il teorema può essere violato se non si rispettano uno dei suoi presupposti. Ad esempio un sistema non in equilibrio (ad esempio un plasma) può avere una magnetizzazione di origine puramente classica. Inoltre se la forma dell’Hamiltoniana non è quella supposta, allora non è detto che valgano le conseguenze del teorema: per questo ad esempio il modello di Ising, puramente classico, riesce a cogliere il comportamento di base di un ferromagnete.