Abbiamo visto in un precedente articolo il modello semiclassico di Rabi, che descrive l’interazione tra un atomo e il campo elettromagnetico in cui l’atomo è trattato in modo quantistico, mentre il campo elettromagnetico è trattato in modo classico. Ora vediamo come rendere il trattamento interamente quantistico.
Derivazione dell’Hamiltoniana
L’atomo ha due possibili livelli energetici: lo stato fondamentale $\ket{f}$ e lo stato eccitato $\ket{e}$ (possiamo pensare ai due livelli energetici come ai livelli dell’elettrone di valenza; questo modello si applica prevalentemente agli atomi con un elettrone di valenza). Il campo elettrico è in una cavità, e quindi un modo del campo avrà la forma:
$$\mathbf E = \mathbf E_0 \bqty{a e^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}}$$
dove abbiamo ignorato la dipendenza spaziale per l’approssimazione del dipolo, già vista nel modello di Rabi semiclassico. Lo spazio di Hilbert della radiazione sarà dato dagli stati di oscillatore armonico, $\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}}\pqty{a^\dagger}^n \ket{0}$. Quindi uno stato del sistema atomo + radiazione avrà la forma $\ket{f,n}$ oppure $\ket{e,n}$.
L’Hamiltoniana del sistema avrà la forma:
$$H = H_{\mathrm{at}} \otimes \mathbb{1}_{\mathrm{rad}}+\mathbb{1}_{\mathrm{at}} \otimes H_{\mathrm{rad}}+H_{\mathrm{int}}$$
Cominciamo a guardare l’Hamiltoniana dell’atomo. Abbiamo:
$$H_{\mathrm{at}}=E_{f} \ket{f}\bra{f}+E_{e} \ket{e}\bra{e}=\frac{\hbar\omega_0}{2}\pqty{\ket{e}\bra{e}-\ket{f}\bra{f}}+\mathrm{costante}=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_3+\mathrm{costante}$$
dove abbiamo posto $E_{e}-E_{f}=\hbar \omega_0$ e la costante è un termine proporzionale a $\mathbb{1} = \ket{f}\bra{f}+\ket{e}\bra{e}$, che può essere ignorato. Inoltre abbiamo usato una base per le matrici sigma tale che $\ket{e}$ è il primo vettore. Il termine di radiazione è l’oscillatore armonico elettrico:
$$H_{\mathrm{rad}} = \hbar \omega \pqty{a^\dagger a +\frac{1}{2}}$$
Il termine di interazione è lo stesso del caso semiclassico, solo che in questo caso il campo elettrico è quantizzato:
$$H_{\mathrm{int}}=\hbar \begin{pmatrix}0 & v/2 \\ v^*/2 & 0\end{pmatrix}\pqty{a e^{-i\omega t}+a^\dagger e^{i\omega t}}=\frac{\hbar}{2} \pqty{v \sigma^+ + v^* \sigma^-}\pqty{a+a^\dagger}$$
dove il fattore di due è per convenienza e $\sigma_{\pm}=\frac{1}{2}\pqty{\sigma_1\pm i \sigma_2}$. In termini di atomo, $\sigma^+ = \ket{e}\bra{f}$ e $\sigma^- = \ket{f}\bra{e}$. Inoltre, abbiamo spostato per comodità la dipendenza temporale sugli stati (rappresentazione di Schrodinger). Il modello completo dato da questi termini è detto modello di Rabi quantistico:
$$H_{\mathrm{Rabi}}=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_3+\hbar \omega \pqty{a^\dagger a +\frac{1}{2}}+\frac{\hbar}{2} \pqty{v \sigma^+ + v^* \sigma^-}\pqty{a+a^\dagger}$$
Possiamo semplificare questo modello applicando l’approssimazione dell’onda rotante come nel caso semiclassico, e otteniamo il modello di Jaynes-Cummings. Guardiamo di nuovo l’Hamiltoniana di interazione. Abbiamo quattro tipi di termini:
- $\sigma^+ a$ ovvero l’elettrone viene eccitato e un fotone viene distrutto (assorbimento)
- $\sigma^- a^\dagger$ ovvero l’elettrone collassa e un fotone viene creato (emissione)
- $\sigma^+ a^\dagger$ ovvero l’elettrone viene eccitato e un fotone viene emesso.
- $\sigma^- a$ ovvero l’elettrone collassa allo stato fondamentale e un fotone viene assorbito.
Gli ultimi due sono processi strani che non conservano l’energia, perciò li ignoriamo. Notiamo che rimettendo la dipendenza temporale, i primi due processi sono proporzionali a $e^{\pm i (\omega-\omega_0)t/2}$, mentre gli ultimi due sono proporzionali $e^{\pm i (\omega+\omega_0)t/2}$. Ovvero ignorare gli ultimi due termini corrisponde esattamente all’approssimazione dell’onda rotante. Fatto ciò otteniamo l’Hamiltoniana di Jaynes-Cummings:
$$H_{\mathrm{JC}}=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_3+\hbar \omega \pqty{a^\dagger a+\frac{1}{2}}+\frac{\hbar}{2} \pqty{v \sigma^+ a + v^* \sigma^- a^\dagger}$$
Soluzione dell’Hamiltoniana
Applicando l’Hamiltoniana alla base di stati otteniamo
$$H \ket{f,n} = \bqty{-\frac{\hbar \omega_0}{2}+\hbar \omega \pqty{n+\frac{1}{2}}}\ket{f,n}+\frac{\hbar v}{2}\sqrt{n}\ket{e,n-1}\\
H \ket{e,n} = \bqty{\frac{\hbar \omega_0}{2}+\hbar \omega \pqty{n+\frac{1}{2}}}\ket{e,n}+\frac{\hbar v}{2}\sqrt{n+1}\ket{f,n+1}$$
Notiamo che il sottospazio $\{\ket{f,n}, \ket{e,n-1}\}$ è lasciato invariante dall’Hamiltoniana, quantomeno per $n \neq 0$ (nel qual caso lo spazio invariante è $\{\ket{f,n=0}\}$). Ordinando così la base, l’Hamiltoniana in questo sottospazio può essere scritta come:
$$H_n=\hbar \begin{pmatrix}n\omega-\Delta/2 & v\sqrt{n}/2 \\ v^*\sqrt{n}/2 & n\omega+\Delta/2\end{pmatrix}$$
dove $\Delta = \omega_0-\omega$. Possiamo quindi calcolare autovalori e autovettori, e otteniamo un comportamento oscillatorio molto simile al caso semiclassico. Questa volta la frequenza delle oscillazioni dipende dal numero di fotoni presenti.