Il modello di Rabi è il più semplice modello di interazione tra radiazione e materia. La materia in questo caso è un singolo atomo, rappresentato da un sistema con due livelli energetici, uno stato fondamentale $\ket{f}$ e uno stato eccitato $\ket{e}$, con energie $E_f$ e $E_e$. La radiazione è rappresentata da un singolo modo del campo elettrico, e in questo caso è trattata in modo classico (cioè è una funzione data, e non quantizzeremo il campo elettromagnetico). Poiché una parte del sistema è trattata in modo quantistico (la materia) e una parte in modo classico (la radiazione), questo è un sistema cosiddetto semiclassico.
Derivazione dell’Hamiltoniana
Occupiamoci innazitutto del campo elettromagnetico. Dobbiamo trovare il potenziale scalare $\phi$ e il potenziale vettore $\mathbf A$. Ci mettiamo nel calibro (gauge) di Coulomb, in cui $\nabla \cdot \mathbf A=0$. In assenza di distribuzioni di carica, ciò implica che $\phi=0$ (come nella pagina di Wikipedia, possiamo risolvere l’equazione di Maxwell per $\phi$ e se la distribuzione di carica è nulla, anche il potenziale è nullo). Possiamo scrivere il potenziale vettore nello spazio dei momenti, e avremo dei modi della forma:
$$\mathbf A = \mathbf A_0 e^{i(\mathbf k \cdot \mathbf r -\omega t)}+\mathrm{c.c.}$$
dove $\mathrm{c.c.}$ indica il “complesso coniugato”. In questo articolo studieremo un solo modo, quindi un modo con $\mathbf k$ e $\omega$ ben definiti, e $\mathbf A$ dato dalla formula sopra. Poiché ci interessa l’interazione tra luce e materia, in cui la materia è data da un atomo, possiamo fare alcune approssimazioni. In particolare le dimensioni tipiche di un atomo sono $\mathbf r \approx 1-10 \overset{\circ}{A}$ e inoltre $\abs{\mathbf k} =2\pi/\lambda$ dove la lunghezza d’onda è circa quella della luce visibile, $\lambda \approx 400-700 \mathrm{nm} = 4000-7000\overset{\circ}{A}$. Pertanto
$$\mathbf k \cdot \mathbf r \ll 1\,\,\,\,\,\,\implies\,\,\,\,\,\,\,e^{i\mathbf k \cdot \mathbf r} \approx 1$$
e quindi $\mathbf A = \mathbf A_0 e^{-i\omega t}+\mathrm{c.c.}$. In altri termini, se la lunghezza d’onda della luce è molto maggiore delle dimensioni dell’atomo, possiamo ignorare la variazione spaziale del campo elettrico. Quest’approssimazione semplifica notevolmente i calcoli. Infatti se $\mathbf A(\mathbf r, t)=\mathbf A(t)$, allora scegliendo $\chi(\mathbf r, t)=-\mathbf r \cdot \mathbf A(t)$ ed effettuando una trasformazione di calibro (gauge) con $\chi$ otteniamo:
$$\mathbf A’ = \mathbf A +\nabla \chi=0\\
\phi’ = \phi + \pdv{\chi}{t}=0-\mathbf r \cdot \pdv{\mathbf A}{t}=-\mathbf r \cdot \mathbf E$$
Per cui abbiamo ottenuto un calibro in cui l’effetto del campo elettrico è dato esclusivamente dal potenziale scalare. Ora, l’Hamiltoniana con aggiunta del campo elettromagnetico è data in genere da:
$$H = \frac{1}{2m}(\mathbf p-q\mathbf A)^2 +V(\mathbf r) +q \phi$$
Per cui vediamo che in questo caso il campo elettromagnetico corrisponde all’aggiunta di un termine $q\phi = -q \mathbf r \cdot \mathbf E(t)=-\mathbf d \cdot \mathbf E(t)$. Questo è esattamente un termine di dipolo elettrico con $\mathbf d = q \mathbf r$, e per questo motivo l’approssimazione sopra è detta approssimazione di dipolo.
Per quanto riguarda la parte restante, cioè l’atomo, sappiamo che ha due livelli energetici: uno stato fondamentale $\ket{f}$ e uno stato eccitato $\ket{e}$, con energie $E_f$ e $E_e$. Scriviamo $E_e -E_f=\hbar \omega_0$. Nella base $\{\ket{f}, \ket{e}\}$ l’Hamiltoniana dell’atomo sarà quindi data da
$$H_0=\begin{pmatrix}E_f & 0 \\ 0 & E_e\end{pmatrix}$$
Aggiungendo il campo elettrico avremo un potenziale della forma $H_{\mathrm{int}}=q\phi = -q \mathbf r \cdot \mathbf E(t)$ e vogliamo scriverlo in forma matriciale. In generale
$$H_{\mathrm{int}}=\hbar \begin{pmatrix}u & v \\ v^* & w\end{pmatrix}\cos{\omega t}$$
dove $u$ e $w$ sono reali e $v$ è complesso, in modo tale che $H_{\mathrm{int}}$ sia hermitiano. Come dipendenza temporale abbiamo messo un coseno anche se in generale avremmo potuto scegliere una combinazione lineare di seni e coseni; comunque non ha una grande rilevanza. In termini propri la forma matriciale dell’Hamiltoniana di interazione è data dai suoi elementi di matrice nella base $\{\ket{f}, \ket{e}\}$. Ad esempio:
$$\hbar u\cos{\omega t} = \bra{f}H_{\mathrm{int}}\ket{f}$$
e così via. Ora, sappiamo che $H_{\mathrm{int}}= -q \mathbf r \cdot \mathbf E(t)$, per cui è dispari rispetto all’inversione spaziale $\mathbf r \to -\mathbf r$. In generale, lo stato fondamentale dell’Hamiltoniana è pari, mentre il primo eccitato è dispari. Quindi poiché $H_{\mathrm{int}}$ è dispari, anche $H_{\mathrm{int}}\ket{f}$ sarà dispari, e quindi avrà sovrapposizione nulla con $\ket{f}$, che è pari. Quindi $u=0$. Alla stessa maniera $w=0$: l’Hamiltoniana di interazione permette transizioni solo tra stati con parità diversa. Segue pertanto che possiamo scriverla come:
$$H_{\mathrm{int}}=\hbar \begin{pmatrix}0 & v \\ v^* & 0\end{pmatrix}\cos{\omega t}$$
Quindi l’Hamiltoniana totale sarà
$$H=\begin{pmatrix}E_f & \hbar v\cos{\omega t} \\ \hbar v^*\cos{\omega t} & E_e\end{pmatrix}$$
Soluzione dell’Hamiltoniana
L’Hamiltoniana del problema dipende dal tempo, quindi serve a poco cercare gli autovalori. Piuttosto, la mettiamo nell’equazione di Schrodinger e vediamo cosa succede. Scriviamo
$$\ket{\psi(t)}=f(t)e^{-iE_f t/\hbar} \ket{f}+e(t)e^{-iE_e t/\hbar} \ket{e}$$
Abbiamo già scritto l’esponenziale dell’energia in modo che $f(t)$ e $e(t)$ contengano solo la parte interattiva dell’evoluzione temporale del sistema. $f$ ed $e$ devono soddisfare $\abs{f(t)}^2+\abs{e(t)}^2=1$. Mettendo nell’equazione di Schrodinger otteniamo
$$i \dv{f}{t} = \frac{v^*}{2}\bqty{e^{-i(\omega_0-\omega)t}+e^{-i(\omega_0+\omega)t}}e(t)\\
i \dv{e}{t} = \frac{v}{2}\bqty{e^{i(\omega_0-\omega)t}+e^{i(\omega_0+\omega)t}}f(t)$$
Per risolvere esplicitamente questo sistema si effettua la cosiddetta approssimazione dell’onda rotante, che consiste nel rimuovere i gradi di libertà che oscillano rapidamente. In particolare ci interessa il caso in cui $\omega \approx \omega_0$ (quasi-risonanza), cioè quelle frequenze capaci di eccitare l’atomo. Quindi in particolare $\omega-\omega_0 \approx 0$ mentre $\omega + \omega_0 \approx 2\omega_0$ ha frequenza molto più elevata: in pratica ignoriamo i termini $e^{\pm i(\omega_0+\omega)}$. In modo più preciso, partiamo dalla prima equazione. Integrando direttamente,
$$i\bqty{f(t)-f(t_0)} = \frac{v^*}{2}\int_{t_0}^t d\tau \bqty{e^{-i(\omega_0-\omega)\tau}+e^{-i(\omega_0+\omega)\tau}}e(\tau)$$
Vogliamo mostrare che il secondo termine a destra è trascurabile. Abbiamo:
$$\abs{e(t)} \leq \sqrt{\abs{f(t)}^2+\abs{e(t)}^2}=1\\
\abs{\dv{e}{t}} \leq \abs{v} \abs{f(t)} \leq \abs{v}$$
Quindi in generale se $\Omega = \omega_0\pm\omega$ integrando per parti abbiamo
$$\begin{align*}
\abs{\int_{t_0}^t e^{-i\Omega \tau} e(\tau) d\tau}&= \abs{e(\tau)\frac{e^{-i\Omega \tau}}{-i\Omega}\bigg\lvert_{t_0}^t – \int_{t_0}^t d\tau \dv{e}{\tau}\frac{e^{-i\Omega \tau}}{-i\Omega}}=\\
&= \frac{1}{\Omega}\abs{e(\tau)e^{-i\Omega \tau}\bigg\lvert_{t_0}^t – \int_{t_0}^t d\tau \dv{e}{\tau}e^{-i\Omega \tau}}\\
\end{align*}$$
Per cui il termine con $\omega_0+\omega$ ha un andamento $1/(\omega_0+\omega)$, mentre il termine con $(\omega_0-\omega)$ ha andamento $1/(\omega_0-\omega)$ e quindi è dominante nel caso di quasi risonanza $\omega\approx\omega_0$.
A questo punto ponendo $\Delta = \omega-\omega_0$ il sistema di equazioni diventa:
$$i \dv{f}{t} = \frac{v^*}{2}e^{-i\Delta t}e(t)\\
i \dv{e}{t} = \frac{v}{2}e^{i\Delta t} f(t)$$
Imponiamo la condizione al contorno $f(0)=1$ e $e(0)=1$, cioè l’atomo si trova inizialmente nello stato fondamentale.
Per risolvere il sistema proviamo un’ansatz per la soluzione. In particolare, cerchiamo una soluzione di forma appropriata senza preoccuparci delle condizioni al contorno, e poi sommiamo le varie possibili soluzioni. Solo alla fine imporremo le condizioni al contorno. Poniamo
$$f(t)=ae^{i\Omega t}\\
e(t)=b e^{i\Omega t}e^{i\Delta t}$$
dove $\Omega$ è ignota. Il termine aggiuntivo in $e$ serve per sistemare il termine di fase diverso con $f$. Sostituendo otteniamo
$$\Omega a + \frac{v^*}{2}b=0\\
\frac{v}{2}{a}+(\Omega+\Delta)b=0$$
Perché questo sistema abbia soluzione non banale il determinante della matrice dev’essere nullo, ovvero $\Omega (\Omega+\Delta) -|v|^2/4=0$, cioè $\Omega = \frac{1}{2}(-\Delta\pm \Omega_R)$ dove $\Omega_R=\sqrt{\Delta^2+|v|^2}$ è detta frequenza di Rabi. Quindi $a/b = -(\Delta \pm \Omega_R)/v$. Possiamo quindi prendere una combinazione lineare delle due possibilità, ottenendo:
$$f(t)=e^{-i\Delta t/2}\bqty{C_+ (\Delta+\Omega_R) e^{i\Omega_R t/2}+ C_- (\Delta-\Omega_R) e^{-i\Omega_R t/2}}\\
e(t)=-e^{i\Delta t/2}v\bqty{C_+ e^{i\Omega_R t/2}+C_- e^{-i\Omega_R t/2}}$$
Imponendo le condizioni al contorno otteniamo $C_+ = -C_- = 1/(2 \Omega_R)$ e quindi
$$f(t)=e^{-i\Delta t/2}\bqty{\cos{\pqty{\frac{\Omega_R t}{2}}}+i\frac{\Delta}{\Omega_R}\sin{\pqty{\frac{\Omega_R t}{2}}}}\\
e(t)=-\frac{iv}{\Omega_R}e^{i\Delta t/2} \sin{\pqty{\frac{\Omega_R t}{2}}}$$
Per studiare l’evoluzione delle probabilità consideriamo la cosiddetta “funzione di inversione”
$$W(t)=\abs{e(t)}^2-\abs{f(t)}^2=2\frac{\abs{v}^2}{\Omega_R^2} \sin^2{\pqty{\frac{\Omega_R t}{2}}}-1$$
Per cui la probabilità di trovare le particelle nello stato fondamentale o nello stato eccitato oscilla con periodo caratteristico $\Omega_R$, la frequenza di Rabi. In particolare se $\Delta=0$ e quindi $\Omega_R=|v|$, allora $W(t)=1$ al tempo $t_{\mathrm{inv}}=\pi/2\abs{v}$, ovvero la popolazione è stata invertita: l’atomo si trova nello stato eccitato con probabilità $1$.
Il modello di Rabi descrive in modo appropriato i cosiddetti “atomi di Rydberg”, che hanno un solo elettrone nel guscio di valenza. In un prossimo articolo discuteremo del Jaynes-Cummings, simile al modello di Rabi, in cui però anche il campo elettrico è trattato in modo quantistico.