Nel primo articolo della serie abbiamo considerato il caso del piano bucato, cioè $M = \mathbb{R}^2-\{0\}$. Finalmente siamo in grado di calcolarne la coomologia di de Rham. Poiché $M$ è connesso, $H^0(M) = \mathbb{R}$. Per applicare Mayer-Vietoris dobbiamo scomporre $M$ in due parti. Scegliamo
$$U = \{(x,y) \in M\,\,\,\mathrm{t.c.}\,\,\,y \neq 0 \}\\
V = \{(x,y) \in M\,\,\,\mathrm{t.c.}\,\,\,x \neq 0 \}$$
ovvero $U=$ (il piano meno l’asse $x$) e $V=$ (il piano meno l’asse $y$). In questa maniera $U \cup V$ è isomorfo a $M$, mentre sia $U$ che $V$ sono isomorfi a due copie disgiunte di $\mathbb{R}^2$. Inoltre $U \cap V = 0$. La coomologia di un’unione disgiunta è semplicemente la somma diretta delle coomologie ordine per ordine, per cui
$$H^0(U) = H^0(V)=H^0(\mathbb{R}^2)\oplus H^0(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2\\
H^1(U) = H^1(V)=H^1(\mathbb{R}^2)\oplus H^1(\mathbb{R}^2)=0\\
H^2(U) = H^2(V)=H^2(\mathbb{R}^2)\oplus H^2(\mathbb{R}^2)=0\\
H^0(U \cap V) = \mathbb{R}\\
H^1(U \cap V) = H^2(U \cap V) = 0$$
La sequenza di Mayer-Vietoris è
$$H^0(M) \to H^0(U)\oplus H^0(V) \to H^0(U \cap V) \to H^1(M) \to H^1(U)\oplus H^1(V) \to\\
\to H^1(U \cap V) \to H^2(M) \to H^2(U)\oplus H^2(V) \to H^2(U \cap V) \to H^3(M)$$
Ovvero sostituendo i gruppi di coomologia noti,
$$\mathbb{R} \to \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R} \to H^1(M) \to 0 \to\\
\to 0 \to H^2(M) \to 0 \to 0 \to 0$$
per cui segue immediatamente che $H^2(M)=0$. Considerando il pezzetto $\mathbb{R} \overset{i}{\to} H^1(M) \overset{j}{\to} 0$, dove abbiamo aggiunto i nomi delle mappe per semplicità di notazione, sappiamo che $\mathrm{im} i=\ker{j}=H^1(M)$ e quindi $H^1(M)=\mathbb{R}$.
Piano con due buchi
A partire dalla coomologia del piano con un buco, possiamo calcolare ad esempio quella del piano con due buchi. Se i due buchi sono in $p$ e $q$, allora prendiamo $M = \mathbb{R}^2 -\{p,q\}$, $U=\mathbb{R}^2 -\{p\}$ e $V=\mathbb{R}^2 -\{q\}$. Allora $U \cup V =\mathbb{R}^2$ e $U \cap V =M$, per cui la sequenza di Mayer-Vietoris è
$$H^0(U \cup V) \to H^0(U)\oplus H^0(V) \to H^0(M) \to H^1(U \cup V) \to H^1(U)\oplus H^1(V) \to\\
\to H^1(M) \to H^2(U \cup V) \to H^2(U)\oplus H^2(V) \to H^2(M) \to H^3(U \cup V)$$
ovvero
$$\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \to 0 \to \mathbb{R}^2 \to\\
\to H^1(M) \to 0 \to 0 \to H^2(M) \to 0$$
quindi $H^0(M)=\mathbb{R}$, $H^1(M)=\mathbb{R}^2$ e $H^2(M)=0$.