Dopo aver visto il teorema di Mayer-Vietoris, lo applichiamo al problema del calcolo della coomologia delle sfere. Vogliamo calcolare tutti i gruppi di coomologia $H^k(S^n)$.
Coomologia del cerchio
Come riscaldamento vediamo di calcolare $H^k(S^1)$, che conosciamo già. Dobbiamo scegliere due aperti $U$ e $V$ tali che $S^1 = U \cup V$. Scegliamo:
$$U = \{(x,y) \in S^1\,\,|\,\,y < 1/2\}\\
V = \{(x,y) \in S^1\,\,|\,\,y > -1/2\}$$
Disegnare i due insiemi rende la cosa molto chiara. Ora, sia $U$ che $V$ sono diffeomorfi ad $\mathbb{R}$ per cui $H^0(U)=H^0(V)=\mathbb{R}$ e $H^k(U)=H^k(V)=0$ per $k \geq 1$. $U \cap V$ è formato da due aperti disgiunti, ognuno dei quali è diffeomorfo a $\mathbb{R}$. Se $X$ e $Y$ sono disgiunti, allora $H^k(X \cup Y) = H^k(X) \oplus H^k(Y)$. Per cui abbiamo $H^0(U\cap V)=\mathbb{R}^2$ (coerentemente col fatto che è composto da due componenti connessi) e $H^k(U \cap V) = 0$ per $k\geq 1$. La sequenza di Mayer-Vietoris è$\require{AMScd}$
\begin{CD}
0 @>>> H^0(S^1) @>i_0^*>> H^0(U)\oplus H^0(V) @>j_0^*>> H^0(U \cap V) @>d_0^*>> H^1(S^1) @>i_1^*>> H^1(U)\oplus H^1(V) @>>> \cdots
\end{CD}
Ovvero:
\begin{CD}
0 @>>> H^0(S^1) @>i_0^*>> \mathbb{R}^2 @>j_0^*>> \mathbb{R}^2 @>d_0^*>> H^1(S^1) @>i_1^*>> 0
\end{CD}
Sappiamo che $S^1$ è connesso, quindi $H^0(S^1)=\mathbb{R}$. $i_0^*$ è iniettivo, quindi $\dim\ker{i_0^*}=0$ per cui $\dim\mathrm{im}(i_0^*)=1$. Segue che $\dim\ker{j_0^*}=1$ e $\dim\mathrm{im}(j_0^*)=1$ e quindi allo stesso modo anche $\dim\ker{d_0^*}=\dim\mathrm{im}(d_0^*)=1$. Pertanto $H^1(S^1)$ ha dimensione $1$ e quindi $H^1(S^1)=\mathbb{R}$.
Coomologia di tutte le sfere
Possiamo ripetere la stessa argomentazione per calcolare la coomologia di $S^n$. Consideriamo $S^n$ come un sottoinsieme di $S^{n+1}$. Definiamo:
$$U = \{\mathbb{x} \in S^1\,\,|\,\,x_{n+1} < 1/2\}\\
V = \{\mathbb{x} \in S^1\,\,|\,\,x_{n+1} > -1/2\}$$
I due sottoinsieme $U$ e $V$ sono diffeomorfi a $\mathbb{R}^n$ per cui $H^0(U)=H^0(V)=\mathbb{R}$ sono gli unici gruppi di coomologia non nulli.
$U\cap V$ è una striscia sulla sfera lungo l’equatore ed è quindi diffeomorfa a $\mathbb{R} \times S^{n-1}$. Sappiamo che $H^k(\mathbb{R} \times S^{n-1})=H^k(\times S^{n-1})$, per cui $U \cap V$ ha la stessa coomologia di $S^{n-1}$. Possiamo considerare un pezzo di Mayer-Vietoris:
\begin{CD}
H^k(U)\oplus H^k(V) @>>> H^k(U \cap V) @>>> H^{k+1}(S^n) @>>> H^{k+1}(U)\oplus H^{k+1}(V)
\end{CD}
Per $k \neq 0$ abbiamo $H^k(U)\oplus H^k(V)=H^{k+1}(U)\oplus H^{k+1}(V)=0$ e quindi la sequenza è:
\begin{CD}
0 @>>> H^k(S^{n-1}) @>>> H^{k+1}(S^n) @>>> 0
\end{CD}
Per cui abbiamo $H^{k+1}(S^n) = H^k(S^{n-1})$. Segue che i gruppi di coomologia della sfera sono:
$$H^k(S^n) = \begin{cases}\mathbb{R} & k = 0,n\\0 & \mathrm{altrimenti} \end{cases}$$
Nel prossimo articolo vedremo un’altra applicazione di Mayer-Vietoris.