In un precedente articolo abbiamo calcolato la coomologia dello spazio euclideo e delle sfere $S^1,S^2,S^3$. La sequenza di Mayer-Vietoris è una tecnica che permette di calcolare la coomologia di spazi più complessi, inclusi tra l’altro tutte le sfere $S^n$ e lo spazio euclideo bucato $\mathbb{R}^n-\{0\}$. La sequenza di Mayer-Vietoris può anche essere usata per dimostrare un gran numero di risultati, tra cui la dualità di Poincaré.
L’idea è la seguente. Data una varietà $M$, scomponiamo $M=U \cup V$. Se conosciamo la coomologia di $U, V$ e $U \cap V$ la sequenza di Mayer Vietoris ci permette di ricostruire la coomologia di $M$.
Dati $U$, $V$ in $M$ abbiamo certamente le due inclusioni $i_U: U \to M$ e $i_V: V \to M$. Possiamo usare queste due mappe per respingere delle forme su $M$ a forme su $U$ e $V$
$$i_U^* : \Omega^k(M) \to \Omega^k(U)\\
i_V^* : \Omega^k(M) \to \Omega^k(V)$$
Alla stessa maniera abbiamo le inclusioni $\rho_U: U \cap V \to U$ e $\rho_V: U \cap V \to V$, e possiamo quindi restringere le forme usando i respingimenti:
$$\rho_U^* : \Omega^k(U) \to \Omega^k(U \cap V)\\
\rho_V^* : \Omega^k(V) \to \Omega^k(U \cap V)$$
Queste mappe si incastrano tra loro in modo carino. Infatti:
Proposizione. Se $i_k(\alpha) = (i_U^* \alpha, i_V^* \alpha)$ e $j_k(\beta,\gamma) = \rho_U^* \beta -\rho_V^* \gamma$ allora $\require{AMScd}$
\begin{CD}
0 @>>> \Omega^k(M) @>i_k>> \Omega^k(U)\oplus \Omega^k(V) @>j_k>> \Omega^k(U \cap V) @>>> 0
\end{CD}
è una sequenza esatta. Inoltre $di_k(\alpha) = i_{k+1}(d\alpha)$ e $dj_k(\beta,\gamma) = j_{k+1}(d\beta, d\gamma)$
Dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che $i_k$ è iniettiva, $j_k$ è suriettiva e $\mathrm{im}{i_k} = \ker{j_k}$.
Se $\alpha \in \Omega^k(M)$ e $i_k(\alpha)=0$ allora sia la restrizione di $\alpha$ su $U$ che la restrizione di $\alpha$ su $V$ è $0$. Ma $M = U \cup V$ per cui $\alpha$ è zero su $M$ e quindi $i_k$ è iniettiva.
Prendiamo $\mu \in \Omega^k(U \cap V)$. Sia $s_U, s_V$ una partizione dell’unità subordinata al ricoprimento aperto $\{U,V\}$ (ovvero $s_X$ è $0$ tranne in $X$ e $s_U+s_V=1$ dappertutto; per una varietà le partizioni dell’unità esistono sempre). La forma $s_U \mu$ è $0$ fuori da $U$, per cui sebbene $\mu$ è definita solo su $U \cap V$, $s_U \mu$ può essere estesa su $V-U$ stipulando che lì è nulla. In questa maniera $s_U \mu$ è una forma su $V$. Alla stessa maniera $s_V \mu$ è una forma su $U$. Sull’intersezione $U \cap V$ abbiamo $\mu = s_V \mu -(-s_U \mu)$ per cui possiamo scrivere $\mu = j_k(s_V \mu, -s_U \mu)$ e quindi $j_k$ è suriettiva.
Non è difficile verificare che $j_k \circ i_k = 0$ e anche l’inclusione contraria. Il fatto che $i_k$ e $j_k$ commutano con la derivata esterna segue dal fatto che i respingimenti commutano con la derivata esterna. $\square$
Dalla proposizione precedente sappiamo quindi che $i_k$ e $j_k$ preservano la chiusura e l’esattezza delle forme, per cui definiscono dei respingimenti
$$i_k^*: H^k(M) \to H^k(U) \oplus H^k(V)\\
j_k^*: H^k(U) \oplus H^k(V) \to H^k(U\cap V)$$
Il teorema importante è che queste due mappe formano una sequenza esatta:
Teorema. (Mayer-Vietoris) Esiste una mappa $d_k^*: H^k(U \cap V) \to H^{k+1}(M)$ tale che$\require{AMScd}$
\begin{CD}
\cdots @>>> H^k(M) @>i_k^*>> H^k(U)\oplus H^k(V) @>j_k^*>> H^k(U \cap V) @>d_k^*>> H^{k+1}(M) @>i_{k+1}^*>> H^{k+1}(U)\oplus H^{k+1}(V) @>>> \cdots
\end{CD}
è una sequenza esatta.
La dimostrazione di Mayer-Vietoris è la stessa di un fatto generale, il lemma del serpente, che è valido per delle strutture dette complessi di cocatene:
Definizione. Un complesso di cocatene è una sequenza di spazi vettoriali $\{A^0, A^1, A^2, \ldots\}$ con delle mappe $d_k : A^k \to A^{k+1}$ tali che $d_k d_{k-1}=0$. Per definizione inoltre $A^i=0$ e $d_i=0$ per $i < 0$.
Ciò formalizza l’idea degli spazi $\Omega^k$ delle forme differenziali. Possiamo quindi generalizzare la definizione di coomologia:
Definizione. La coomologia $k-$esima del complesso è $H^k(A)=\ker{d_k}/\mathrm{im}\,d_{k-1}$
Definizione. Una mappa di cocatene $i: A\to B$ tra due complessi è una famiglia di mappe $i_k : A^k \to B^k$ tale che $d_k(i_k(\alpha))=i_{k+1}(d_k \alpha)$ tale che il seguente diagramma commuta:
\begin{CD}
A^k @>{i_k}>> B^k\\
@V{d_k^A}VV @V{d_k^B}VV \\
A^{k+1} @>{i_{k+1}}>> B^{k+1}
\end{CD}
Questa struttura mostra che Mayer-Vietoris è un fatto puramente algebrico, non analitico (quantomeno una volta dimostrata la proposizione sopra). Per cui si applica a tutti i complessi di cocatene.
Teorema. (Lemma del serpente) Data una sequenza esatta di complessi di cocatene \begin{CD}
0 @>>> A @>i>> B @>j>> C @>>> 0
\end{CD}
allora esiste una famiglia di mappe $d_k^*: H^k(C) \to H^{k+1}(A)$ tale che
\begin{CD}
\cdots @>>> H^k(A) @>i_k^*>> H^k(B) @>j_k^*>> H^k(C) @>d_k^*>> H^{k+1}(A) @>i_{k+1}^*>> H^{k+1}(B) @>>> \cdots
\end{CD}
è una sequenza esatta.
Dimostrazione. Prima di tutto dobbiamo costruire la mappa $d_k^*$, poi mostrare che $\mathrm{im}{i_k^*} = \ker{j_k^*}$, $\mathrm{im}{j_k^*} = \ker{d_k^*}$, $\mathrm{im}{d_k^*} = \ker{i_{k+1}^*}$, ecc. Per semplicità chiamiamo $d$ tutte le varie mappe $d_k^A, d_{k+1}^B, \ldots$
Siano $\alpha \in A, \beta \in B, \gamma \in C$. Prima di tutto definiamo $d_k^*$. Sia $[\gamma_k]$ in $H^k(C)$ una classe di coomologia. La mappa $j_k$ è suriettiva, per cui $\exists \beta_k \in B^k$ tale che $\gamma_k = j_k(\beta_k)$. Inoltre, poiché $\gamma_k$ è chiusa, $j_{k+1}(d\beta_k) =d j_k(\beta_k) = d \gamma_k = 0$. Pertanto $d\beta_k \in \ker{j_{k+1}}$ e quindi poiché $\mathrm{im}{i_k} = \ker{j_k}$ allora $d\beta_k \in \mathrm{im}i_{k+1}$. Segue che esiste un $\alpha_{k+1} \in A$ tale che $i_{k+1}(\alpha_{k+1})=d\beta_k$. Inoltre poiché $i_{k+1}$ è iniettiva, $\alpha_{k+1}$ è unica. Per cui definiamo
$$d_k^*[\gamma_k] = [\alpha_{k+1}]$$
Questa definizione ha senso? Dobbiamo controllare diverse cose:
- Prima di tutto, $\alpha_{k+1}$ è chiusa perché $i_{k+2}(d\alpha_{k+1}) = d(i_{k+1}(\alpha_{k+1})) = d^2\beta_k = 0$. Poiché $i_{k+2}$ è iniettiva, $d\alpha_{k+1}=0$. Pertanto il codominio di $d_k^*$ è $H^{k+1}(C)$.
- Dobbiamo dimostrare che $[\alpha_{k+1}]$ è indipendente da quale $\beta_k$ scegliamo nel secondo passaggio della costruzione. Supponiamo di prendere un $\beta’_k$ tale che $j_k(\beta’_k)=j_k(\beta_k)=\gamma_k$. Allora $j_k(\beta’_k-\beta_k)=0$ per cui $\beta’_k-\beta_k \in \mathrm{im}(i_{k}). Ovvero $i_k(\alpha_k)=\beta’_k-\beta_k$ per un qualche $\alpha_k$. Segue che $d\beta’_k =d\beta_k + i_{k+1}(d\alpha_k)=i_{k+1}(\alpha_{k+1}+d\alpha_k)$. Per cui $\alpha’_{k+1}=\alpha_{k+1}+d\alpha_k$ e quindi $[\alpha’_{k+1}]=[\alpha_{k+1}]$.
- Dobbiamo infine dimostrare che $[\alpha_{k+1}]$ è indipendente dalla scelta iniziale di $\gamma_k$. Supponiamo infatti di prendere $\gamma’_k = \gamma_k + d\gamma_{k-1}$. In tal caso esiste un $\beta_{k-1}$ tale che $\gamma_{k-1} = j_{k-1} \beta_{k-1}$ e quindi $j_k(\beta_k+d\beta_{k-1})= \gamma_k + j_{k-1} \beta_{k-1} = \gamma_k + d\gamma_{k-1} = \gamma’_k$. Per cui possiamo scegliere $\beta’_k = \beta_k + d\beta_{k-1}$ e quindi $d\beta’_k=d\beta_k$ per cui alla fine otteniamo la stessa $\alpha_{k+1}$.
A questo punto restano da dimostrare alcune inclusioni:
- $\mathrm{im}i_k^* \subset \ker{j_k^*}$. Abbiamo: $j_k^*i_k^*[\alpha_k] = j_k^*[i_k \alpha_k] = [j_k i_k \alpha_k]=0$ poiché $j_k i_k = 0$
- $\mathrm{im}j_k^* \subset \ker{d_k^*}$. Abbiamo $j_k^*[\beta_k] = [j_k \beta_k]$. Vogliamo applicare $d_k^*$ e perciò dobbiamo ripetere la costruzione. Cerchiamo un $\alpha_{k+1}$ tale che $i_{k+1}(\alpha_{k+1})=d\beta_k$. Ma $d\beta_k=0$ poiché $\beta_k$ è chiuso. Per cui $\alpha_{k+1}=0$ e quindi $d_k^*j_k*[\beta_k] = [0]=0$ per cui $d_k^*j_k*=0$.
- $\mathrm{im}d_k^* \subset \ker{i_{k+1}^*}$. Se $d_k^*[\gamma_k] = [\alpha_{k+1}]$ allora $i_{k+1}\alpha_{k+1} = d\beta_k$ è esatta, per cui $i_{k+1}^*[\alpha_k] = [i_{k+1}\alpha_k] = [d\beta_k]=0$.
- $\ker{j_k^*} \subset \mathrm{im}i_k^*$. Se $j_k^*[\beta_k]=0$ allora $[j_k\beta_k]=0$, quindi $j_k\beta_k = d\gamma_{k-1}$. Poiché $j_k$ è suriettiva, $j_{k-1}\beta_{k-1} = \gamma_{k-1}$ quindi $j_k(d\beta_{k-1})=d\gamma_{k-1}=j_k \beta_k$, pertanto $j_k(\beta_k-d\beta_{k-1})=0$. Tuttavia $\mathrm{im}i_k^* \subset \ker{j_k^*}$ per cui esiste un $\alpha_k$ tale che $i_k(\alpha_k)=\beta_k-d\beta_{k-1}$. Ma $i_{k+1}d\alpha_k )= d(i_k\alpha_k)=d\beta_k-0=0$ perché $\beta_k$ è chiusa. Dall’iniettività di $i_k$, $d\alpha_k=0$ per cui $[\alpha_k] \in H^k(A)$. Allora $i_k^*[\alpha_k] = [i_k \alpha_k] = [\beta_k+d\beta_{k-1}]=[\beta_k]$ per cui $[\beta_k]$ è nell’immagine di $i_k^*$.
- $\ker{d_k^*} \subset \mathrm{im}j_k^*$. Se $d_k^*[\gamma_k]=0$ sappiamo per definizione che $d_k^*[\gamma_k]=[\alpha_{k+1}]$, quindi $\alpha_{k+1}$ è esatta: $\alpha_{k+1}=d\alpha_k$, dove $\alpha_{k+1}$ soddisfa $i_{k+1}\alpha_{k+1}=d\beta_k$ e $\gamma_k = j_k\beta_k$. Quindi $d\beta_k = i_{k+1}(\alpha_{k+1})=i_{k+1}d\alpha_k = d(i_k \alpha_k)$. Segue che $\beta_k -i_k\alpha_k$ è chiusa e quindi rappresenta una classe di coomologia in $H^k(B)$. Ma quindi $j_k^*[ \beta_k -i_k\alpha_k] = [j_k\beta_k -j_k i_k \alpha_k]=[j_k\beta_k]=[\gamma_k]$ per cui $[\gamma_k] \in \mathrm{im}j_k^*$.
- $\ker{i_{k+1}^*} \subset \mathrm{im}d_k^*$. Se $i_{k+1}^*[\alpha_{k+1}]=0$ allora $[i_{k+1}\alpha_{k+1}]=0$ e quindi $i_{k+1}\alpha_{k+1}=d\beta_k$ è esatta. Allora $dj_k\beta_k = j_{k+1}d\beta_k = j_{k+1}i_{k+1}\alpha_{k+1}=0$ quindi $j_k\beta_k$ è chiusa e rappresenta una classe di coomologia in $H^k(C)$. Per costruzione $d_k^*[j_k \beta_k]=[\alpha_{k+1}]$ quindi $[\alpha_{k+1}] \in \mathrm{im}d_k^*$
Ciò conclude la dimostrazione. $\square$
Nel prossimo articolo alcune applicazioni di Mayer-Vietoris.