Una simpatica scoperta in meccanica quantistica è un protocollo che permette di effettuare il teletrasporto. Il meccanismo sfrutta l’aggrovigliamento quantistico (entanglement) per spostare un qubit da $A$ a $B$, e quindi permette in linea di principio di spostare informazione quantistica. Per quanto ne sappiamo il teletrasporto avviene in modo istantaneo, però per usufruirne bisogna che i due si scambino un messaggio classicamente, e perciò il protocollo non viola il limite della velocità della luce.
Supponiamo che Arduino ($A$) voglia teletrasportare un qubit mandandolo a Beatrice ($B$). Il protocollo funziona nella maniera seguente:
- $A$ e $B$ si incontrano si scambiano una coppia di qubit aggrovigliati. Poi si allontanano a piacimento.
- $A$ prende il nuovo qubit che vuole teletrasportare e lo accosta al suo qubit, che è già aggrovigliato con quello di $B$.
- A questo punto $A$ esegue una misurazione sul suo qubit, ottenendo quattro diversi risultati con una certa probabilità ognuno. Con la misurazione, il sistema collassa e il qubit di $B$ cambia in modo predicibile.
- Poi $A$ manda un messaggio a $B$ informandolo del risultato della misurazione. In base a questa comunicazione $B$ esegue una certa operazione sul suo qubit e come risultato finale il suo qubit è ora diventato uguale al qubit che $A$ voleva trasportare.
Andiamo adesso passo passo e vediamo matematicamente cosa succede. I qubit sono una sovrapposizione di $\ket{0}$ e $\ket{1}$. Una base per una coppia di qubit è data ovviamente da $\ket{0}\ket{0}, \ket{0}\ket{1},\ket{1}\ket{0}, \ket{1}\ket{1}$. Utilizzeremo anche un’altra base spesso utile, cioè la base di Bell:
$$\ket{\Psi^-}=\frac{\ket{0}\ket{1}-\ket{1}\ket{0}}{\sqrt{2}}\\
\ket{\Psi^+}=\frac{\ket{0}\ket{1}+\ket{1}\ket{0}}{\sqrt{2}}\\
\ket{\Phi^-}=\frac{\ket{0}\ket{0}-\ket{1}\ket{1}}{\sqrt{2}}\\
\ket{\Phi^+}=\frac{\ket{0}\ket{0}+\ket{1}\ket{1}}{\sqrt{2}}$$
Supponiamo che $A$ e $B$ abbiano ognuno un qubit, e che ad un certo punto li facciano interagire in modo da aggrovigliarli, cosicché lo stato del sistema $A+B$ è dato da
$$\ket{\Phi^+}_{AB}=\frac{\ket{0}_A\ket{0}_B+\ket{1}_A\ket{1}_B}{\sqrt{2}}$$
Avremmo potuto scegliere un qualsiasi altro elemento della base e con appropriate modifiche il protocollo funzionerebbe alla stessa maniera. Supponiamo che $A$ voglia teletrasportare un qubit $\ket{\psi}_I = \alpha \ket{0}_I+\beta \ket{1}_I$. Il sistema totale si troverà nello stato
$$\ket{\psi}_I\ket{\Phi^+}_{AB}$$
Esplicitando i vari termini e facendo un po’ di conti troviamo che
$$\begin{align*}
\ket{\psi}_I\ket{\Phi^+}_{AB}&=\frac12\ket{\Phi^+}_{IA}\pqty{\alpha \ket{0}_B+\beta\ket{1}_B}+\frac12\ket{\Psi^+}_{IA} \pqty{\alpha \ket{1}_B+\beta\ket{0}_B}+\\
&+\frac12\ket{\Psi^-}_{IA}\pqty{\alpha \ket{1}_B-\beta\ket{0}_B}+\frac12\ket{\Phi^-}_{IA}\pqty{\alpha \ket{0}_B-\beta\ket{1}_B}
\end{align*}$$
Ovvero utilizzando le matrici di Pauli abbiamo
$$\begin{align*}
\ket{\psi}_I\ket{\Phi^+}_{AB}&=\frac12\ket{\Phi^+}_{IA}\ket{\psi}_B+\frac12\ket{\Psi^+}_{IA} \sigma^x_B \ket{\psi}_B+\\
&+\frac12\ket{\Psi^-}_{IA}i\sigma^y_B \ket{\psi}_B-\frac12\ket{\Phi^-}_{IA}\sigma^z_B \ket{\psi}_B
\end{align*}$$
In altre parole, possiamo vedere lo stato $\ket{\psi}_I\ket{\Phi^+}_{AB}$ come una sovrapposizione in cui il sistema $IA$ è in uno degli elementi della base di Bell, mentre il sistema $B$ è in una qualche variante del qubit da trasmettere.
A questo punto $A$ può effettuare una misura nel sistema $IA$ (questa è la parte sperimentalmente più difficile). Otterrà come risultato uno degli elementi della base di Bell, ognuno con la stessa probabilità $(1/2)^2=1/4$. Dopo la misurazione, l’intero sistema collasserà nello stato corrispondente:
| A trova | Stato totale | Stato di B |
| $\ket{\Phi^+}$ | $\ket{\Phi^+}_{IA}\ket{\psi}_B$ | $\ket{\psi}_B$ |
| $\ket{\Psi^+}$ | $\ket{\Psi^+}_{IA} \sigma^x_B \ket{\psi}_B$ | $\sigma^x_B \ket{\psi}_B$ |
| $\ket{\Psi^-}$ | $\ket{\Psi^-}_{IA}i\sigma^y_B \ket{\psi}_B$ | $i\sigma^y_B \ket{\psi}_B$ |
| $\ket{\Phi^-}$ | $-\ket{\Phi^-}_{IA}\sigma^z_B \ket{\psi}_B$ | $-\sigma^z_B \ket{\psi}_B$ |
La tabella mostra il risultato della misurazione di $A$, lo stato totale del sistema dopo la misurazione, e lo stato di $B$ dopo la misurazione, cioè dopo il collasso.
A questo punto il teletrasporto è in pratica avvenuto, perché il qubit di $B$ si trova in una variante dello stato $\psi$ che volevamo teletrasportare. Tuttavia $B$ ancora non sa cosa $A$ ha misurato, e quindi non può sapere quale delle quattro varianti ha ottenuto. Non può neanche misurare il qubit, perché esso collasserebbe e quindi sarebbe perduto.
Per completare il teletrasporto0 $A$ dovrà, tramite un canale di comunicazione classico (ad esempio una telefonata o un’email), dire a $B$ qual è il risultato della misurazione. A questo punto $B$ saprà qual è la trasformazione inversa da applicare al suo stato, cioè rispettivamente: nessuna, $(\sigma^x_B)^{-1}$, $(i\sigma^y_B)^{-1}$, $(-\sigma^z_B)^{-1}$) in modo tale che a questo punto può essere sicuro che lo stato finale del suo sistema è $\ket{\psi}_B$.
In questa maniera è stato effettuato il teletrasporto quantistico, e $B$ è libero di fare quello che vuole con il proprio qubit.
Notiamo che con questo sistema l’informazione contenuta nel qubit originario (sistema $I$) è distrutta: pertanto il teletrasporto quantistico non viola il teorema dell’impossibilità della clonazione.