Nel precedente articoli abbiamo calcolato i gruppi di coomologia delle sfere di dimensione minore di tre e dei tori. Prima di occuparci del caso difficile, cioè le sfere in qualsiasi dimensione, calcoliamo la coomologia dello spazio euclideo.
Troviamo che i gruppi di coomologia di $\mathbb{R}^n$ sono gli stessi di $\mathbb{R}$: $$H^k(\mathbb{R}^n) = H^k(\mathbb{R})=\begin{cases}\mathbb{R}& k=0 &\\0&\mathrm{altrimenti}\end{cases}$$
La dualità di Poincaré, di cui abbiamo parlato nello scorso articolo, in questo caso fallisce perché $\mathbb{R}^n$ non è compatto. Il risultato sopra segue da quest’altro più generale:
Teorema. $H^k(\mathbb{R} \times M) \cong H^k(M)$.
Dimostrazione. Sia $s_0 : M \to \mathbb{R} \times M$ la sezione nulla data da $s_0(x) = (0,x)$ e $\pi: \mathbb{R} \times M \to M$ la proiezione $\pi(t,x)=x$. Allora $s_0^*: H^k (\mathbb{R} \times M) \to M$ e $\pi^*: H^k(M) \to H^k (\mathbb{R} \times M)$ sono isomorfismi (il che è evidente, poiché i respingimenti sono mappe lineari). Dobbiamo dimostrare che sono inversi l’uno dell’altro.
Abbiamo $\pi \circ s_0 = \mathrm{id}_M$, per cui $s_0^* \circ \pi^*$ è l’identità su $H^k(M)$, per cui resta da dimostrare l’altra direzione. Definiamo un operatore $P:\Omega^k(\mathbb{R}\times M) \to \Omega^{k-1}(\mathbb{R}\times M)$ simile a quello definito nella dimostrazione del lemma di Poincaré. Se $t$ è la coordinata di $\mathbb{R}$, una forma su $\mathbb{R}\times M$ può essere scritta come $\eta(t,x) = \alpha(t,x)_I dt \wedge dx^I + \beta(t,x)_J dx^J$. Allora poniamo $$(P\eta)(t,x) = \pqty{\int_0^t ds\alpha_I(x,s)}dx^I$$
$P$ è detto integrale lungo la fibra. Dimostreremo che
$$(1-\pi^* \circ s_0^*) \eta= d(P\eta)+P(d\eta)$$
Ciò è sufficiente per ciò che cerchiamo, perché data una forma chiusa $\eta$, allora $\eta$ e $(\pi^* \circ s_0^*) \eta$ differiscono per una forma esatta, e quindi formano la stessa classe di coomologia. Quindi $\pi^* \circ s_0^*$ è l’identità su $H^k(\mathbb{R}\times M)$.
Ora dimostriamo quest’ultima parte con un calcolo diretto. Abbiamo $s_0^*\eta = \beta_J(0,x)dx^J$ e quindi
$$(1-\pi^* \circ s_0^*) \eta = \alpha_I dt \wedge dx^I +(\beta_J(t,x)-\beta(0,x))dx^J$$
Inoltre abbiamo:
$$\begin{align*}
dP\eta &= \pqty{\int_0^t ds \pdv{\alpha_I(s,x)}{x^i}}dx^i \wedge dx^I+\alpha_I(t,x) dt \wedge dx^I\\
Pd\eta &=P\bqty{\pdv{\alpha_I(t,x)}{x^i} dx^i \wedge dt \wedge dx^I + \pdv{\beta_J(t,x)}{t}dt \wedge dx^J +\pdv{\beta_J(t,x)}{x^i}dx^i \wedge dx^J}=\\
&=(\beta_J(t,x)-\beta_J(0,x))dx^J -\pqty{\int_0^t \pdv{\alpha_I(s,x)}{x^i}}dx^i \wedge dx^I
\end{align*}$$
Sommando i due risultati otteniamo quanto necessario. $\square$.
Più in generale abbiamo il risultato seguente:
Teorema. Se $C$ è contraibile, allora $H^r(C \times M)=H^r(M)$
Dimostrazione. Dalla formula di Künneth abbiamo:
$$H^r(C \times M) = \bigoplus_{p+q=r} \bqty{H^p(C) \otimes H^q(M)}$$
Ma $C$ è contraibile, per cui per il lemma di Poincaré ogni forma chiusa è esatta. Quindi l’unico gruppo di coomologia non nullo è quello per $p=0$:
$$H^r(C \times M) =\bqty{H^0(C) \otimes H^r(M)} \oplus \bigoplus_{p+q=r\,\,p\neq 0} \bqty{\{0\} \otimes H^q(M)}$$
Abbiamo $\mathrm{dim}\{0\}=0$, per cui $\mathrm{dim}\bqty{\{0\} \otimes H^q(M)} = \mathrm{dim}(\{0\}) \mathrm{dim} (H^q(M)) =0$ e quindi anche $\{0\} \otimes H^q(M) = \{0\}$. Uno spazio contraibile è necessariamente connesso, per cui $H^0(C)=\mathbb{R}$. Inoltre $H^r(M)$ è uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$, per cui il risultato segue dal calcolo delle dimensioni. $\square$
In altre parole il prodotto diretto con uno spazio contraibile non cambia la coomologia di uno spazio. Nel prossimo articolo vedremo una tecnica di applicabilità molto generale per calcolare i gruppi di coomologia.