Nei precedenti articoli abbiamo visto i principali aspetti teorici della coomologia, e adesso cerchiamo dei metodi per calcolare esplicitamente i gruppi di coomologia $H^r$.
Come abbiamo visto nel precedente articolo, i gruppi di coomologia sono isomorfi ai gruppi di omologia. Quindi un modo è semplicemente quello di calcolare i gruppi di omologia $H_r$. Tuttavia possiamo fare di meglio, cioè possiamo calcolare la coomologia direttamente, senza passare per l’omologia. Un risultato utile è il seguente:
Teorema. (Dualità di Poincaré) Se $M$ è compatto, senza bordo e di dimensione $n$, allora per ogni $r$ abbiamo $H^r \cong H^{n-r}$.
Esiste una versione per le varietà non compatte, ma è più complicata e quindi meno utile. Come esempio useremo la dualità di Poincaré per calcolare la coomologia della circonferenza:
Esempio. Coomologia di $S^1$. Sappiamo che $S^1$ è connesso, per cui $H^0(S^1) = \mathbb{R}$. L’unico altro gruppo di coomologia è $H^1$. Poiché $S^1$ è compatto e senza bordo, allora $H^1 = H^0$ e quindi $H^1(S^1)=\mathbb{R}$.
Un’altra formula molto utile è la seguente:
Teorema. (Formula di Künneth) Dati due spazi topologici $M_1$ e $M_2$ allora
$$H^r(M_1 \times M_2) = \bigoplus_{p+q=r} \bqty{H^p(M_1) \otimes H^q(M_2)}$$
Per cui conoscendo i gruppi di coomologia dei fattori conosciamo interamente i gruppi di coomologia del prodotto. Ad esempio, la formula di Künneth ci permette di calcolare la coomologia del toro:
Esempio. Coomologia del toro. Prendiamo $M=T^2 = S^1 \times S^1$. Abbiamo già visto che $H^0(S^1)=H^1(S^1)=\mathbb{R}$. Segue che:
\begin{align*}
H^0(T^2)&=\mathbb{R} \otimes \mathbb{R} = \mathbb{R}\\
H^1(T^2)&=(\mathbb{R} \otimes \mathbb{R}) \oplus (\mathbb{R} \otimes \mathbb{R}) = \mathbb{R}^2\\
H^2(T^2)&=\mathbb{R} \otimes \mathbb{R}=\mathbb{R}
\end{align*}
Come ci aspettiamo dalla dualità di Poincaré abbiamo $H^2(T^2)\cong H^0(T^2)$.
Nel caso di spazi topologicamente equivalenti ci aspettiamo di avere la stessa coomologia. Questo risultato torna utile:
Teorema. Siano $f,g: M\to N$ mappe omotopiche. Allora le due mappe $f^*, g^*: H^r(N) \to H^r(M)$ sono identiche.
Dimostrazione. Poiché le due mappe sono omotopiche, esiste una $F: M \times [0,1] \to N$ tale che $F(p,0)=f(p)$ e $F(p,1)=g(p)$. Per definizione abbiamo $f^*[\omega] = [f^*\omega]$ (infatti il respingimento commuta con la derivata esterna), per cui è sufficiente dimostrare che $f^* \omega -g^*\omega$ è esatta. Utilizzando la notazione della dimostrazione del Lemma di Poincaré abbiamo $f = F \circ f_0$ e $g = F \circ f_1$, per cui $f^* \omega -g^* \omega = -dPF^*\omega$ come nel caso del Lemma di Poincaré. $\square$
Inoltre, se la varietà è semplicemente connessa, allora abbiamo qualche informazione direttamente:
Teorema. Se $M$ è semplicemente connesso, allora $H^1(M) = 0$.
Dimostrazione 1. Se $M$ è semplicemente connesso, allora il primo di gruppo di omotopia è banale $\pi_1(M)=0$. Il primo gruppo di omologia è l’abelianizzazione del primo gruppo di omotopia, per cui $H_1(M)=0$. Segue dal teorema di de Rham che $H^1(M)=0$. $\square$
Dimostrazione 2. Sia $\omega$ chiusa. Definiamo $f(p) = \int_{p_0}^p \omega$ dove $p_0$ è un punto a caso. Se $f$ è ben definita, allora abbiamo $df = \omega$, per cui è esatta. Perché $f$ sia ben definita, l’integrale attorno ad ogni curva chiusa dev’essere nullo. Dato un cammino chiuso $\alpha: [0,1] \to M$ con $\alpha(0)=\alpha(1)=p$. Sia $c_p$ il cammino chiuso costante, cioè $c_p(t)=p$. Poiché $M$ è semplicemente connesso, allora $\alpha$ e $c_p$ sono omotopici. Per definizione abbiamo $\int_{\alpha([0,1])} \omega = \int_{S^1} \alpha^*\omega$. Per il teorema precedente abbiamo inoltre $\alpha^* \omega -c_p^*\omega = d\psi$, ma $\int c_p^*\omega = \int d\psi = 0$, per cui $\int_{\alpha([0,1])} \omega =0$ e quindi l’integrale è ben definito. $\square$
Con questi risultati possiamo calcolare altri gruppi di coomologia:
Esempio. Prendiamo $M=S^2$. Sappiamo che è connesso, per cui $H^0(S^2)=\mathbb{R}$ e dalla dualità di Poincaré segue anche $H^2(S^2)=\mathbb{R}$. Poiché è semplicemente connesso, dalla proposizione precedente segue che $H^1(S^2)=0$.
Alla stessa maniera abbiamo $H^0(S^3)=H^3(S^3)=\mathbb{R}$ e $H^1(S^3)=H^2(S^3)=0$ per $S^3$. In realtà qualsiasi varietà tridimensionale compatta, connessa e semplicemente connessa avrà gli stessi gruppi di coomologia di $S^3$, perché queste sono le sole proprietà di $S^3$ che abbiamo usato. La congettura di Poincaré, famosamente risolta da Perelman, è la proposizione conversa, cioè che ogni $3-$varietà con questi gruppi di coomologia sia la sfera $S^3$.
Nel prossimo articolo calcoleremo altri gruppi di coomologia.