Il teorema di Sokhotski–Plemelj è un teorema che torna spesso utile in molti calcoli in meccanica quantistica, materia condensata e in teoria dei campi. In questi casi capita spesso di voler calcolare integrali della forma
$$\int \frac{f(x)}{x}dx$$
Spesso la funzione $f$ è una funzione continua, magari complessa. Perciò l’integrale in generale presenta una singolarità nel punto $x=0$, e questo è un problema se l’intervallo di integrazione contiene lo $0$. La solita tecnica per risolvere questi integrali è di spostare la singolarità nel piano complesso, verso l’alto o verso il basso, con la cosiddetta “prescrizione $i\epsilon$”, detta anche “prescrizione di Feynman” o “prescrizione di Feynman-Stuckelberg”. In pratica aggiungiamo un $i\epsilon$ al denominatore,
$$\int \frac{f(x)}{x+i\epsilon}dx$$
quindi calcoliamo l’integrale normalmente, e infine prendiamo il limite $\epsilon \to 0$. Chiaramente è vero che $\lim_{\epsilon \to 0}\frac{f(x)}{x+i\epsilon}=\frac{f(x)}{x}$, e quindi ci possiamo chiedere come mai questa procedura dovrebbe portare a risultati diversi. Il motivo è che in generale, limiti ed integrali non commutano:
$$ \int \lim \neq \lim \int$$
Spesso in fisica quando un certo ordine di fare integrali e limiti non dà i risultati giusti, vuol dire che non è il modo fisicamente giusto di fare il calcolo, e dietro c’è spesso qualche motivo fisico (ma ne parliamo un’altra volta).
Il teorema di Sokhotski–Plemelj fornisce una maniera rigorosa per calcolare integrali di questo tipo. Infatti se $a <0<b$ e $f$ è una funzione continua a valori complessi, allora
$$\boxed{\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_a^b \frac{f(x)}{x\pm i\epsilon}dx = \mp i \pi f(0)+\mathcal{P} \int_a^b \frac{f(x)}{x}dx}$$
dove il simbolo $\mathcal{P}$ sta ad indicare il valore principale di Cauchy, che è un certo modo di calcolare integrali in genere mal definiti. In termini precisi:
$$\mathcal{P} \int_a^b \frac{f(x)}{x}dx = \lim_{\delta \to 0} \bqty{\int_a^{-\delta} \frac{f(x)}{x}dx+\int_\delta^b \frac{f(x)}{x}dx}$$
In questa maniera si riesce spesso a regolarizzare la zona pericolosa $x\approx 0$. In molti testi di fisica la formula è scritta
$$\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{x\pm i\epsilon}=\mp i\pi\delta(x)+\mathcal{P}\frac{1}{x}$$
dove si sottitende che bisogna moltiplicare per $f(x)$, integrare, e calcolare il limite fuori dall’integrale. Questo è un modo un po’ confusionario di esporla, perché entrambi i membri sono delle distribuzioni, che quindi hanno senso solo all’interno di un integrale.
Dimostrazione euristica
Del teorema proporremo solo una dimostrazione euristica, partendo dall’integrale con $i\epsilon$ (prendendo il segno $-$ per semplicità) e moltiplicando sopra e sotto per il complesso coniugato del denominatore:
$$\int_a^b \frac{f(x)}{x- i\epsilon}dx=\int_a^b \frac{f(x)}{x^2+\epsilon^2}(x+i\epsilon)dx=\int_a^b \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx+i\int_a^b \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2} f(x) dx$$
Ora consideriamo $\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$. Per $x\neq 0$ nel limite $\epsilon \to 0$, la funzione tende a zero. Al contrario se $x=0$ la funzione si riduce a $1/\epsilon$, per cui nel limite tende ad infinito. Questa è in pratica la definizione della funzione $\delta(x)$, tranne per il fatto che potrebbe essere moltiplicata per una costante davanti. Per calcolare la costante, sappiamo che l’integrale su tutta la retta reale della funzione delta deve fare $1$. Possiamo quindi calcolare
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2} dx = \epsilon \bqty{\frac{\arctan(x/\epsilon)}{\epsilon}}_{-\infty}^{+\infty}=\pi$$
Quindi nel limite
$$\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2} \to \pi \delta(x)$$
e pertanto
$$\int_a^b \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2} f(x) dx \to \pi \int_a^b \delta(x) f(x) dx=\pi f(0)$$
Ora occupiamoci dell’altro termine. Lo riscriviamo:
$$\int_a^b \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx=\int_a^{-\delta} \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx+\int_\delta^b \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx+\int_{-\delta}^{\delta} \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx$$
Questa decomposizione è valida per qualsiasi $\delta$. Nei primi due integrali, il dominio di integrazione non contiene lo $0$, per cui l’integrale non ci dà problemi e possiamo prendere tranquillamente il limite $\epsilon \to 0$ dentro l’integrale, ottenendo:
$$\int_a^b \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx=\int_a^{-\delta}\frac{f(x)}{x} dx+\int_\delta^b \frac{f(x)}{x} dx+\int_{-\delta}^{\delta} \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx$$
Ora per ogni $\epsilon \neq 0$ l’ultimo integrale è regolare su tutto il dominio di integrazione, per cui nel limite $\delta \to 0$ tende a zero. Segue che
$$\int_a^b \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx\to\lim_{\delta \to 0} \bqty{\int_a^{-\delta}\frac{f(x)}{x} dx+\int_\delta^b \frac{f(x)}{x} dx}=\mathcal{P} \int_a^b \frac{x}{x^2+\epsilon^2}f(x) dx$$
Questa dimostrazione non è molto rigorosa perché abbiamo scambiato limiti a piacere, e il punto dell’intera questione è che scambiare limiti non è un’operazione lecita. Il teorema può anche essere dimostrato rigorosamente usando l’analisi complessa.
La formula di Poincaré-Bertrand
Una generalizzazione della formula di Sokhotski-Plemelj è la cosiddetta formula di Poincaré-Bertrand, che vale per funzioni di due variabili $f(x,y)$. La formula afferma che per $s,t = \pm 1$ allora:
$$\lim_{\epsilon, \eta \to 0^+}\int dx dy \frac{f(x,y)}{(x -is\epsilon)(y -it\eta)} =\pi^2 f(0,0)(1-st) + i\pi s\mathcal{P} \int dy \frac{f(0,y)}{y}+i\pi t\mathcal{P}\int dx \frac{f(x,0)}{x}+\mathcal{P} \int dx dy \frac{f(x,y)}{xy}$$
Il valore principale dell’integrale doppio va interpretato come il valore principale dell’integrale rispetto ad una delle variabili, e poi il valore principale dell’integrale rispetto alla variabile rimanente.