In meccanica quantistica è possibile dimostrare un gran numero di risultati negativi, cioè teoremi che dimostrano l’impossibilità di qualcosa, detti appunto teoremi di impossibilità (in inglese no-go theorems).
In questo caso, ciò che è impossibile è la clonazione o duplicazione esatta di uno stato quantistico. Vediamo di cosa si tratta in modo più preciso.
Supponiamo di avere uno stato $\ket\psi$ e di volerlo clonare, cioè vogliamo ottenere lo stato $\ket\psi \otimes \ket\psi$. Per creare una copia, prima di tutto combiniamo lo stato iniziale con uno stato $\ket{b}$ che fungerà da “pagina bianca”:
$$\ket\psi \otimes \ket b$$
A questo punto per ottenere una copia esatta del sistema dovremo usare una mappa unitaria $U$ tale che
$$U: \ket\psi \otimes \ket b \to \ket\psi \otimes \ket\psi$$
Tuttavia gli stati quantistici sono definiti solo a meno di una fase, quindi richiederemo al massimo che
$$U\pqty{ \ket\psi \otimes \ket b} = e^{i\theta(\psi,b)} \ket\psi \otimes \ket\psi$$
Il teorema afferma precisamente che non esiste nessun operatore del genere. Daremo due dimostrazioni.
Prima dimostrazione
Consideriamo uno stato $\ket\phi \otimes \ket b$ per un qualche $\phi$ e calcoliamone il prodotto interno con $\ket\psi \otimes \ket b$. Allora da un lato
$$\pqty{\bra\phi \otimes \bra b}\pqty{\ket\psi \otimes \ket b} = \braket{\phi}{\psi} \braket{b}{b}=\braket{\phi}{\psi}$$
dove abbiamo supposto che $\ket b$ è normalizzato. Tuttavia usando il fatto che $U$ è unitario abbiamo
\begin{align*}
\pqty{\bra\phi \otimes \bra b}\pqty{\ket\psi \otimes \ket b} &= \pqty{\bra\phi \otimes \bra b} U^\dagger U \pqty{\ket\psi \otimes \ket b} =\\
&=e^{i\theta(\psi,b)-i\theta(\phi,b)} \pqty{\bra\phi \otimes \bra \phi} \pqty{\ket\psi \otimes \ket \psi} =\\
&=e^{i\theta(\psi,b)-i\theta(\phi,b)} \braket{\phi}{\psi}^2
\end{align*}
Pertanto comparando le due espressioni e prendendo il valore assoluto abbiamo
$$\abs{\braket{\phi}{\psi}}=\abs{\braket{\phi}{\psi}}^2$$
Per cui necessariamente $\abs{\braket{\phi}{\psi}}=0$, oppure $\abs{\braket{\phi}{\psi}}=1$. La prima possibilità implica che $\ket\phi$ e $\ket \psi$ sono ortogonali, ma poiché $\phi$ è generico ciò non può essere vero in genere. Al contrario dato che entrambi gli stati sono normalizzati, la seconda opzione implica che $\ket\phi$ e $\ket \psi$ sono proporzionali l’uno all’altro, cioè sono lo stesso stato.
In entrambi i casi quindi, non può esistere un generico operatore unitario che possa clonare uno stato quantistico qualsiasi.
Seconda dimostrazione
La seconda dimostrazione si basa sul principio di linearità. Consideriamo la sovrapposizione
$$\ket s = \alpha\ket\phi+\beta \ket \psi$$
e cerchiamo di clonare $\ket s \otimes \ket b$. Applicando l’operatore di clonazione otteniamo
$$U \pqty{\alpha\ket\phi+\beta \ket \psi}\otimes \ket b = e^{i\theta(s, e)} \pqty{\alpha\ket\phi+\beta \ket \psi}\otimes \pqty{\alpha\ket\phi+\beta \ket \psi}$$
Tuttavia possiamo anche prima esprimere la sovrapposizione ottenendo
$$U \pqty{\alpha\ket\phi+\beta \ket \psi}\otimes \ket b =\alpha U \ket\phi \otimes \ket b+\beta U \ket \psi \otimes \ket b=\alpha e^{i\theta(\phi, e)} \ket\phi \otimes \ket \phi+\beta e^{i\theta(\psi, e)} \ket \psi \otimes \ket \psi$$
Tuttavia espandendo l’espressione ottenuta nel primo caso abbiamo dei termini del tipo $\ket \psi \otimes \ket \phi$ e $\ket \phi \otimes \ket \psi$ che non esistono nel secondo. Ci sono due vie d’uscita: o uno tra $\alpha$ e $\beta$ è zero, ma ciò è significherebbe che non siamo in grado di clonare uno stato qualsiasi, oppure i termini $\ket \psi \otimes \ket \phi$ sono in realtà proporzionali ai termini $\ket \psi \otimes \ket \psi$, e quindi non sono termini aggiuntivi. Ciò avviene quando $\ket \phi$ e $\ket \psi$ sono proporzionali, ma ciò non è vero in genere.
Pertanto anche in questo caso non esiste modo di clonare uno stato quantistico.
Vie d’uscita
Come in tutti i teoremi di impossibilità, violando uno dei presupposti si può sempre ottenere il risultato “impossibile”. Infatti:
- In questo contesto, “clonare” vuol dire partire da uno stato e ottenerne due identici al primo: ovvero lo stato iniziale dev’essere preservato. In altre parole, se nel processo di duplicazione lo stato iniziale viene modificato è possibile duplicare uno stato quantistico.
- Alla stessa maniera, è possibile duplicare uno stato quantistico se non insistiamo che sia una copia esatta, cioè se non insistiamo che la mappa $U$ sia unitaria. Ovvero è possibile effettuare una clonazione quantistica, ma la copia risulterà necessariamente leggermente diversa dall’originale.
- Il teorema dimostra che non esiste una macchina per la clonazione universale, cioè valida per tutti gli stati quantistici. È perfettamente possibile costruire un operatore unitario che cloni un solo specifico stato quantistico.