Nei precedenti articoli, abbiamo parlato più volte della connessione tra topologia e coomologia. La connessione esatta è con i gruppi di omologia, da cui deriva anche il nome della coomologia.
Per chi non ne avesse familiarità, in generale i gruppi di omologia individuano i “buchi” di una varietà. In particolare l’$r-$esimo gruppo di omologia $H_r$ ci dice quali sono i buchi del tipo della $r-$sfera $S^r$. Ad esempio la sfera bidimensionale $S^2$ ha solo un buco di tipo $S^2$ e nessun buco di tipo $S^1$, cioè del tipo del cerchio. Inoltre il piano bucato $\mathbb{R}^2-\{0\}$ ha solo un buco di tipo $S^1$, cioè del tipo del cerchio.
Nel caso generale delle sfere, $S^r$ ha solo buchi di tipo $S^r$. Un buco di tipo $S^0$ corrisponde ad avere diversi componenti connessi. In particolare, abbiamo quindi che i gruppi di omologia di $S^r$ sono tutti nulli tranne per $H_0$ e $H_r$. Nel caso che abbiamo già trattato di $\mathbb{R}^2-\{0\}$, è chiaro che il piano bucato ha un buco di tipo $S^1$, ma nessun buco di tipo $S^2$ (e poiché ha dimensione 2, non può avere buchi di tipo $S^n$ per $n>2$).
La definizione formale di omologia è complicata, e non sarà trattata qui. A chi vuole studiare queste cose consiglio il libro di Nakahara, Geometry, topology and physics. Il risultato fondamentale è il seguente:
Teorema (de Rham). Sia $H_r(M)$ l’$r-$esimo gruppo di omologia di $M$ e $H^r(M)$ l’$r-$esimo gruppo di coomologia di $M$. Allora $H_r$ e $H^r$ sono isomorfi.
Questa è solo la prima parte. La seconda parte del teorema di de Rham afferma che se $M$ è compatto, allora $H^r$ (e quindi $H_r$) ha dimensione finita come spazio vettoriale. Ciò non è affatto ovvio: gli spazi $\Omega^r$ sono tutti infinito-dimensionali (abbiamo infatti forme differenziali in ogni punto della varietà) e sono infinito-dimensionali i gruppi $Z^r$ e $B^r$.
La dimostrazione del teorema di de Rham è difficile e non la tratteremo. Il teorema di de Rham fornisce una spiegazione del perché non tutte le forme chiuse sono esatte: ciò è dovuto alla topologia non banale dello spazio. Inoltre può essere usato sia per calcolare i gruppi di coomologia a partire da quelli di omologia, che viceversa.
Nei prossimi articoli vedremo alcune tecniche per calcolare esplicitamente i gruppi di (co)omologia.