Nello scorso articolo abbiamo visto che la coomologia di de Rham ci dice quali forme chiuse sono esatte. Il lemma di Poincaré dice che localmente ogni forma chiusa è esatta. Pertanto, una forma chiusa può non essere esatta solo globalmente: in questo senso la coomologia di de Rham è una proprietà globale della varietà.
Teorema. (Lemma di Poincaré) Se $U$ è un aperto di $M$ ed è contraibile ad un punto, allora ogni $r-$forma chiusa su $U$ è esatta.
La proprietà di essere contraibile ad un punto è topologica; ad esempio un disco è contraibile ad un punto, ma una circonferenza no. Se la varietà $M$ fosse contraibile ad un punto, allora per il Lemma di Poincaré tutti i gruppi di coomologia sono nulli. Tuttavia una qualsiasi varietà differenziale è localmente contraibile, ovvero ogni punto ha un intorno contraibile: pertanto su una varietà ogni forma differenziale è localmente esatta. L’abbiamo visto nel primo articolo: nelle regioni contraibili $\{x > 0\}$ o $\{y > 0\}$ il campo vettoriale $\mathbf{B}$ ammette una primitiva, ma non ammette primitiva globalmente, cioè su tutto $\mathbb{R}^2-\{0\}$, che non è contraibile. Ciò mostra di nuovo la connessione tra coomologia di de Rham e topologia.
Dimostrazione. Poiché per definizione $U$ è contraibile, allora esiste una mappa $F: U \times [0,1] \to U$ tale che $F(x,0)=x$ e $F(x,1)=p$ per un qualche $p$.
Sia $\eta \in \Omega^r (U\times I)$ una $r-$forma su $U\times [0,1]$. Allora chiamando $x$ le coordinate su $U$ e $t$ la coordinata sull’intervallo,
$$\eta = a_I (x,t) dx^I + b_J(x,t) dt \wedge dx^J$$
Definiamo $P: \Omega^r (U\times I) \to \Omega^{r-1} (U)$ tramite l’integrale:
$$P\eta = \pqty{\int_0^1 ds\, b_J(x,s)}dx^J$$
Inoltre definiamo una mappa $f_t : U \to U\times I$ tramite $f_t(x) = (x,t)$, di modo che possiamo usarla per respingere la forma $\eta$ su $\Omega^r(U)$ ottenendo $f_t^*\eta = a_I (x,t) dx^I \in \Omega^r(U)$. Abbiamo:
$$\begin{align*}
d(P\eta) &= d\pqty{\int_0^1 ds b_J(x,s)}dx^J=\pqty{\int_0^1 ds \pdv{b_J(x,s)}{x^j}}dx^j \wedge dx^J\\
P(d\eta) &= P \bqty{\pdv{a_I (x,t)}{t} dt \wedge dx^I +\pdv{a_I (x,t)}{dx^j} dx^j \wedge dx^I + \pdv{b_J(x,t)}{x^j} dx^j \wedge dt \wedge dx^J}=\\
&=\pqty{\int_0^1 ds\pdv{a_I (x,s)}{s} ds} dx^I -\pqty{\int_0^1 ds \pdv{b_J(x,s)}{x^j} }dx^j \wedge dx^J
\end{align*}$$
Sommando i due otteniamo:
$$d(P\eta) + P(d\eta) = \pqty{\int_0^1 ds\pdv{a_I (x,s)}{s} ds} dx^I =a_I (x,1) dx^I-a_I (x,0) dx^I = f_1^* \eta-f_0^* \eta$$
Ora prendiamo una forma chiusa $\omega \in \Omega^r(U)$ e definiamo $\eta \in \Omega^r(U\times I)$ usando $F$ per respingerla: $\eta = F^* \omega$. Allora applicando il risultato precedente:
$$d(PF^* \omega) + P(dF^* \omega) = f_1^* F^* \omega-f_0^* F^* \omega = (F \circ f_1)^* \omega-(F \circ f_0)^* \omega$$
Tuttavia la mappa $F \circ f_1: U\to U$ è la mappa costante $x \to p$, per cui $(F\circ f_1)^* = 0$, mentre la mappa $F \circ f_1: U\to U$ è l’identità, cosicché anche $(F \circ f_1)^* = \mathrm{id}$. Abbiamo inoltre $dF^*\omega = F^* d\omega = 0$ perché $\omega$ è chiusa. Segue che $\omega = -d P F^* \omega$, per cui $\omega$ è esatta. $\square$
Il lemma di Poincaré è molto importante:
- In primo luogo, perché ci dice che lavorando localmente tutte le forme chiuse sono esatte, il che è molto utile operativamente;
- In secondo luogo, perché ci dice che la coomologia di de Rham è una proprietà globale della varietà, cioè è una proprietà topologica.
Nel prossimo articolo vedremo con più precisione la connessione tra coomologia di de Rham e topologia.