Consideriamo la seguente situazione. Dobbiamo camminare da $x=0$ a $x=L_1+L_2$, e andiamo ad una velocità fissa $v$. Tuttavia nel punto $x=L_1$ c’è un semaforo che si accende periodicamente: è rosso per un tempo $T$, poi è verde per un tempo $T$, poi torna rosso per un tempo $T$, e così via. Possiamo passare se il semaforo è verde, mentre siamo costretti ad aspettare se il semaforo è rosso.
Per immaginarlo facciamo finta che il semaforo segua una legge sinusoidale del tipo
$$\sin{\pqty{\frac{\pi}{T}(t-t_0)}}$$
dove $t_0$ è uno scarto iniziale. Il periodo del semaforo è $2T$. Diciamo che il semaforo sarà verde se la sinusoide è positiva e sarà rosso se la sinusoide è negativa.
Supponiamo di partire al tempo $t=0$. Arriveremo quindi al semaforo, che si trova in $x=L_1$, al tempo $t= L_1/v$. A questo punto il nostro comportamento dipenderà dal valore della sinusoide.
Se $\sin{\pqty{\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}}\geq 0$ allora il semaforo è verde e passiamo. Per compiere il viaggio fino alla fine del percorso impieghiamo un tempo pari a $L_2/v$, e quindi abbiamo impiegato in totale $(L_1+L_2)/v$.
Se invece $\sin{\pqty{\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}}\leq 0$ allora il semaforo è rosso e dobbiamo aspettare che diventi verde. La funzione $\sin{k}$ è positiva se $0 \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2\pi \leq \pi$ e negativa se $\pi \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2\pi \leq 2\pi$. In questo caso è negativa, per cui
$$\pi \leq \pqty{\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}\,\,\mathrm{mod}\,2\pi \leq 2\pi$$
Per quanto tempo rimaniamo bloccati al semaforo? Saremo bloccati per quel tempo $\Delta t$ che è necessario perché l’argomento del seno arrivi a $2\pi$, cioè
$$\pqty{\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}\,\,\mathrm{mod}\,2\pi +\frac{\pi}{T} \Delta t= 2\pi$$
ovvero
$$\Delta t = 2T -T\frac{1}{\pi}\bqty{\pqty{\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}\,\,\mathrm{mod}\,2\pi}$$
Per cui mettendo insieme, troviamo che il tempo totale impiegato è
$$T_\mathrm{tot} = \begin{cases} \frac{L_1+L_2}{v} & 0 \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2\pi \leq \pi\\ \frac{L_1+L_2}{v} +2T -T\frac{1}{\pi}\bqty{\pqty{\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}\,\,\mathrm{mod}\,2\pi} & \pi \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2\pi \leq 2\pi \end{cases}$$
dove $k=\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)$ è l’argomento del seno. È più utile definire il tempo in eccesso $T_\mathrm{ecc}$ causato dal semaforo, che è dato da
$$T_\mathrm{ecc} = \begin{cases}0 & 0 \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2\pi \leq \pi\\ 2T -T\frac{1}{\pi}\bqty{\pqty{\frac{\pi}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}\,\,\mathrm{mod}\,2\pi} & \pi \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2\pi \leq 2\pi \end{cases}$$
Possiamo anche rimuovere i vari $\pi$ per fare chiarezza:
$$T_\mathrm{ecc} = \begin{cases}0 & 0 \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2 \leq 1\\ 2T -T\bqty{\pqty{\frac{1}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)}\,\,\mathrm{mod}\,2} & 1 \leq k\,\,\mathrm{mod}\,2 \leq 2 \end{cases}$$
dove abbiamo anche tolto i $\pi$ da $k$, ridefinendo $k= \frac{1}{T}(\frac{L_1}{v}-t_0)$.
Possiamo a questo punto ad esempio calcolarne la media rispetto alla fase ignota $t_0$ del semaforo, supponendo che abbia una distribuzione uniforme. Il tempo di eccesso è una funzione periodica di $t_0$ con periodo $2T$, per cui possiamo calcolare la media in qualsiasi intervallo. Tuttavia il calcolo rispetto a $t_0$ è particolarmente ostico per via dei vari moduli. Possiamo semplificarlo notando che se $t_0$ è distribuita uniformemente, allora anche $k$ è distribuita uniformemente, e quindi anche $k \,\,\mathrm{mod}\,2$ è distribuita uniformemente, nell’intervallo $[0,2]$. Chiamando $k_\star \equiv k \,\,\mathrm{mod}\,2$ possiamo quindi calcolare
$$\begin{align*}
\overline{T}_\mathrm{ecc}&=\frac{1}{2} \int_{0}^{2} T_\mathrm{ecc}(k_\star) \,dk_\star=\\
&=\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \bqty{2T -T k_\star}\,dk_\star=\\
&=\frac{1}{2} T \bqty{2k_\star -\frac12 k_\star^2}_{1}^{2}=\boxed{\frac{T}{4}}
\end{align*}$$
Col senno del poi la risposta è ovvia: il ritardo è zero per metà del tempo, e per l’altra metà è distribuito uniformemente tra $0$ e $T$, la cui media è $T/2$. Per cui il ritardo totale è $1/2 \times 0 + 1/2 \times T/2 = T/4$.
Se ci sono più semafori e non sono sincronizzati in nessuna maniera, allora avranno delle fasi casuali e quindi in media possiamo sommare le varie attese. Quindi per due semafori dovremo attendere in media $T/2$, per tre semafori $3T/4$, ecc.
Se invece i semafori sono sincronizzati, supponiamo che siano separati da una distanza $L$. Supponiamo di aspettare al primo semaforo. Quando diventa verde partiamo. Conviene andare veloci? La risposta è che conviene, purché si vada abbastanza veloci. Infatti, poiché sono sincronizzati, il semaforo successivo sarà verde per un tempo $T$. Per cui se andiamo ad una velocità $v$, impiegheremo un tempo $L/v$ per raggiungere il semaforo successivo. Questo sarà verde se $L/v \leq T$, mentre sarà rosso $L/v \geq T$. Quindi conviene andare veloci purché si vada abbastanza veloci; altrimenti è inutile.