Nell’articolo precedente abbiamo visto la definizione dei gruppi di coomologia associati ad una certa varietà e a cosa servono. In questo articolo vediamo di studiare alcuni semplici esempi.
Innanzitutto i seguenti fatti sono molto facili da dimostrare. Se $Z^r$ è lo spazio delle $r-$forme chiuse e $B^r$ lo spazio delle $r-$forme esatte, allora abbiamo
- Se $\omega \in Z^r$ e $\psi \in Z^s$ allora $\omega \wedge \psi = Z^{r+s}$
- Se $\omega \in Z^r$ e $\psi \in B^s$ allora $\omega \wedge \psi = B^{r+s}$
- Se $\omega \in B^r$ e $\psi \in B^s$ allora $\omega \wedge \psi = B^{r+s}$
Ora cerchiamo di trovare una formula esplicita per alcuni gruppi di coomologia.
La coomologia di ordine $0$
Per definizione $B^0=0$, per cui
$$H^0 = Z^0 = \{f \in \Omega^0\,\,|\,\,df=0\}$$
Se la varietà $\mathcal{M}$ ha $n$ componenti connessi, allora $df=0$ se e solo se $f$ è costante su ognuno dei componenti connessi di $\mathcal{M}$, per cui $H^0=\mathbb{R}^n$.
La coomologia di ordine 0 dipende solo dal numero di componenti connessi della varietà, e ciò è valido per tutte le varietà!
Coomologia dei numeri reali
In questo esempio prendiamo $\mathcal{M} = \mathbb{R}$. Dall’esempio precedente sappiamo che $H^0 = \mathbb{R}$ poiché $\mathbb{R}$ è connesso.
Poiché $\mathbb{R}$ ha dimensione $1$ l’unico altro gruppo di coomologia non nullo è il primo (non esistono $2-$forme su uno spazio di dimensione $1$). Sia $x$ una coordinata su $\mathbb{R}$. Allora una $1-$ forma su $\mathbb{R}$ può essere scritta come $\omega = \omega(x) dx$. Segue che $d\omega = \pdv{\omega(x)}{x}dx \wedge dx =0$, per cui tutte le $1-$forme sono esatte.
Ora data una $1-$forma $\omega$ definiamo $F(x) = \int_0^x \omega(s)ds$, che è una $0-$forma. Poiché $\dv{F}{x} = \omega(x)$ allora $\omega = \dv{F}{x} dx = dF$ per cui $\omega$ è chiusa. Pertanto tutte le $1-$forme sono sia chiuse che esatte, e quindi il primo gruppo di coomologia è banale, $H^0(\mathbb{R})=0$.
Coomologia del cerchio
Stavolta prendiamo $\mathcal{M} = S^1 \cong U(1)$. Il cerchio è connesso, per cui $H^0(S^1)=\mathbb{R}$. Un elemento di $S^1$ è dato da $e^{i\theta}$ con $\theta \in [0, 2\pi)$. Una $1-$forma è quindi della forma $\omega = f(\theta)d\theta \in \Omega^1 (S^1)$, e tutte le forme di questo tipo sono esatte. Ora se $\omega = dF$ allora abbiamo $F(\theta) = \int_0^\theta f(\phi)d\phi$. Questa è una $0-$forma, tuttavia per essere ben definita sul cerchio dev’essere periodica: $F(2\pi)=F(0)$, ovvero $\int_0^{2\pi} f(\phi)d\phi=0$. Possiamo definire una mappa lineare $\lambda$ sulle $1-$forme, $\lambda(\omega) = \int_0^{2\pi} \omega$. Allora $B^1(S^1) = \ker{\lambda}$. Palesemente $\mathrm{im}(\lambda)= \mathbb{R}$ per cui
$$H^1(S^1) = \Omega^1 (S^1) /\ker{\lambda} = \mathrm{im}(\lambda) = \mathbb{R}$$
Per cui il primo gruppo di coomologia non è banale.
Nel prossimo articolo vedremo il lemma di Poincaré, il quale ci dice che localmente tutte le forme chiuse sono esatte.