Siamo abituati a dire che se $\nabla \times \mathbf B = 0$ allora $\mathbf B = \nabla f$, oppure che $\nabla \cdot \mathbf F = 0$ implica $\mathbf F = \nabla \times \mathbf A$. Ciò non è sempre vero. Consideriamo ad esempio
$$\mathbf B = \pqty{-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}}$$
Facendo i conti abbiamo $\nabla \times \mathbf B = 0$. Esiste una funzione $f$ tale che $\mathbf B = \nabla f$? Facciamo i conti e troviamo ad esempio $f = \arctan{(y/x)}$. Tuttavia questa funzione fa un po’ schifo: non è definita su tutto $x=0$, mentre $\mathbf B$ è definito dappertutto tranne che all’origine.
Le stranezze aumentano se proviamo a calcolare un integrale su un cerchio di raggio $1$:
$$\int_{x^2+y^2=1} \mathbf B \cdot d\mathbf r$$
Possiamo calcolarlo in tre modi: usando $f$, usando il teorema di Stokes e calcolando l’integrale direttamente.
Usando $f$ abbiamo:
$$\int_{x^2+y^2=1} \mathbf B \cdot d\mathbf r = \int_{x^2+y^2=1} \nabla f \cdot d\mathbf r = 0$$
per il teorema fondamentale del calcolo integrale, dato che stiamo calcolando su un cammino chiuso.
Usando il teorema di Stokes abbiamo:
$$\int_{x^2+y^2=1} \mathbf B \cdot d\mathbf r = \int_{x^2+y^2 \leq 1} \nabla \times \mathbf B \cdot d\mathbf A = 0$$
perché il rotore di $\mathbf B$ è zero.
Tuttavia possiamo anche calcolare l’integrale direttamente:
\begin{align*}
\int_{x^2+y^2=1} \mathbf B \cdot d\mathbf r &=\int_{x^2+y^2=1} -\frac{y dx}{x^2+y^2}+\frac{x dy}{x^2+y^2}=\\
&=\int_0^{2\pi} -(\sin{\theta}) d(\cos{\theta})+(\cos{\theta}) d(\sin{\theta})=\\
&=\int_0^{2\pi} (\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}) d\theta=2\pi
\end{align*}
Per cui abbiamo due risultati contrastanti, e quello corretto è ovviamente quello calcolato con metodi diretti, cioè $2\pi$. Dobbiamo allora capire perché gli altri due metodi falliscono.
Nel primo caso, cioè il calcolo tramite $f$, il problema è che non esiste nessuna funzione $f$ definita su $\mathbb{R}^2-\{0\}$. Il teorema del gradiente, infatti, richiede che la funzione $f$ sia definita su un aperto che include la curva su cui integriamo, ma non esiste nessuna funzione $f$ tale che $\nabla f = \mathbf{B}$ e che sia definita in un aperto che include il cerchio. Ad esempio $f=\arctan{(y/x)}$ non è definita su tutto $x=0$, mentre $f=-\arctan{(x/y)}$, anch’essa una valida possibilità, non è definita su tutto $y=0$.
Nel caso del teorema di Stokes il fallimento è invece più evidente e centra bene il cuore della questione. Il teorema infatti non è valido se il dominio di integrazione non è semplicemente connesso, e infatti $\mathbb{R}^2-\{0\}$ ha un buco che lo rende non semplicemente connesso.
Il problema è quindi connesso alla topologia del dominio. Se infatti prendessimo un dominio semplicemente connesso, ad esempio il semipiano destro $\{x > 0\}$, allora $f = \arctan{y/x}$ è una primitiva valida su tutto il dominio, che è semplicemente connesso. Allo stesso modo sul semipiano superiore $\{y > 0\}$, anch’esso semplicemente connesso, allora $f = -\arctan{x/y}$ è un’altra primitiva ed è ben definita dappertutto sul semipiano superiore.
Il problema è formulato in modo più chiaro in termini di forme differenziali. Come abbiamo visto nella serie ad esse dedicata, tutte le formule del calcolo vettoriale (gradiente, divergenza, rotore, ecc.) sono tutte esprimibili in termini di forme differenziali. Il problema diventa quindi il seguente: se $\alpha$ è una $p-$forma tale che $d\alpha=0$, allora sotto quali condizioni esiste una $(p-1)-$forma $\beta$ tale che $\alpha = d\beta$?
Il problema è formulato in questa maniera. Sia $\Omega^p (M)$ lo spazio delle $p-$forme su una qualche varietà $M$. Chiamiamo $Z^p$ lo spazio delle $p-$forme chiuse e $B^p$ lo spazio delle $p$ forme esatte, cioè:
$$Z^p = \{\alpha \in \Omega^p(M)\,\,\,\mathrm{t.c.}\,\,\, d\alpha=0\}\\
B^p = \{\alpha \in \Omega^p(M)\,\,\,\mathrm{t.c.}\,\,\, \alpha=d\beta\,\,\,\mathrm{per\,qualche}\,\,\,\beta \in \Omega^{p-1}(M)\}\\$$
Poiché $d^2 = 0$ abbiamo $B^p \subset Z^p$, cioè le forme esatte sono chiuse. Pertanto definiamo il $p-$esimo gruppo di coomologia come il quoziente di questi due:
$$H^p \equiv Z^p / B^p$$
Gli elementi di $H^p$ sono classi di equivalenza di $p-$forme chiuse, dove due forme chiuse sono equivalenti se la loro differenza è esatta. Se tutte le forme chiuse sono esatte, allora $B^p = Z^p$, per cui $H^p=0$. Viceversa se $H^p=0$ allora tutte le forme chiuse sono esatte. In generale $H^p \neq 0$ e conoscendo il gruppo di coomologia possiamo classificare le varie possibilità per le forme chiuse ma non esatte.
Nei prossimi articoli vedremo che il gruppo $H^p$ dipende esclusivamente dalla topologia dello spazio $M$ su cui sono definite le forme. Inoltre troveremo dei modi per calcolare il gruppo di coomologia in casi di generica utilità.