La formula di Kubo è una formula che permette di calcolare la risposta lineare di un’osservabile all’accensione di una perturbazione. Viene utilizzata ad esempio per calcolare la corrente causata da un campo elettrico. In questo articolo la vediamo nel contesto della meccanica quantistica, ma può essere formulata anche per sistemi classici.
Consideriamo un sistema quantistico descritto da un’Hamiltoniana $H_0$ indipendente dal tempo. Al tempo $t_0$ accendiamo una perturbazione che chiamiamo $V(t)$. Ci interessa capire come cambia il valore atteso di un operatore qualsiasi $A$ a causa della perturbazione. Lavoriamo nella rappresentazione di interazione, dove l’Hamiltoniana $H_0$ produce una dipendenza temporale negli operatori e negli stati
$$A(t) = e^{itH_0/\hbar} A e^{-itH_0/\hbar}\\
\ket{\psi(t)_I} = e^{itH_0/\hbar} \ket{\psi(t)_S}$$
dove $\ket{\psi(t)_S}$ è lo stato nella rappresentazione di Schrodinger. L’equazione di Schrodinger nella rappresentazione di interazione è quindi
$$i\hbar \pdv{\ket{\psi(t)_I}}{t} = V(t)\ket{\psi(t)_I}$$
dove anche $V$ va presa nella rappresentazione di interazione. La soluzione di questa equazione è data dalla serie di Dyson
$$\ket{\psi(t)_I} = U(t,t_0) \ket{\psi(t_0)_I}\\
U(t,t_0) = T \exp{\bqty{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t V(t’)dt’}}$$
dove $T$ è l’operatore di ordinamento temporale. Per cui il valore atteso dell’operatore $A(t)$ sarà dato da
$$\begin{align*}
\langle A(t) \rangle_t &= \bra{\psi(t)_I}A(t)\ket{\psi(t)_I}=\\
& =\bra{\psi(t_0)_I}U(t,t_0)^{-1} A(t)U(t,t_0)\ket{\psi(t_0)_I}=\\
& \approx \bra{\psi(t_0)_I}A(t)\ket{\psi(t_0)_I} +\frac{i}{\hbar}\bra{\psi(t_0)_I} \int_{t_0}^t [A(t), V(t’)] dt’\ket{\psi(t_0)_I}=\\
&=\langle A(t) \rangle_{t_0} +\frac{i}{\hbar}\bra{\psi(t_0)_I} \int_{t_0}^t [A(t), V(t’)] dt’\ket{\psi(t_0)_I}
\end{align*}$$
dove abbiamo tenuto solo i termini lineari, proprio perché la formula di Kubo si limita a considerare per definizione la risposta lineare. Abbiamo ottenuto la formula di Kubo:
$$\boxed{\langle A(t) \rangle_t -\langle A(t) \rangle_0= \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \langle [A(t), V(t’)]\rangle_0 dt’}$$
dove con $0$ abbiamo denotato la media rispetto allo stato iniziale al momento in cui viene accesa la perturbazione.
Applicazione alla corrente elettrica
Mostriamo come la formula di Kubo sia utilizzabile per calcolare la conducibilità elettrica del sistema. In questo caso la perturbazione è causata dalla corrente elettrica. Possiamo scegliere un calibro (gauge) in cui il potenziale scalare è nullo, quindi rimane solo il potenziale vettoriale $\mathbf{A}$ e il campo elettrico è quindi $\mathbf{E} = -\partial_t \mathbf{A}$. Supponiamo che $\mathbf{E}(t) = \mathbf{E} e^{-i\omega t}$, cioè siamo in corrente alternata (se ci interessa la corrente diretta, possiamo poi porre $\omega = 0$). In questo caso $\mathbf{A} = \frac{1}{i\omega}\mathbf{E}e^{-i\omega t}$. La perturbazione è
$$V = -\mathbf J \cdot \mathbf A$$
L’operatore di cui ci interessa calcolare la risposta lineare è $J_i$, uno dei componenti della corrente. Quindi supponendo che inizialmente non ci sia corrente la formula di Kubo dà
$$\langle J_i(t) \rangle_t= -\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \langle [J_i(t), J_j(t’)A_j(t’)]\rangle_0 dt’$$
dove $A_j$ è il componente $j$ del potenziale vettore. Per semplicità supponiamo di aver applicato il campo elettrico molto tempo addietro, per cui $t_0 \to -\infty$. Usando la formula per $\mathbf A$ otteniamo
$$\langle J_i(t) \rangle_t= -\frac{1}{\hbar\omega}\int_{-\infty}^t \langle [J_i(t), J_j(t’)]\rangle_0 E_j e^{-i\omega t’} dt’$$
Poiché il sistema è invariante rispetto alle traslazioni temporali, la funzione di correlazione tra le correnti può dipendere soltanto dalla differenza $t-t’$, che chiamiamo $t^{\prime\prime} = t-t’$. Quindi $\langle [J_i(t), J_j(t’)]\rangle_0 = \langle [J_i(t-t’), J_j(0)]\rangle_0$ e cambiando variabile d’integrazione otteniamo
$$\langle J_i(t) \rangle_t= \frac{1}{\hbar\omega}\pqty{\int_0^{\infty} \langle [ J_j(0),J_i(t^{\prime\prime})]\rangle_0 e^{i\omega t^{\prime\prime}} dt^{\prime\prime}}E_j e^{-i\omega t}$$
Quest’ultima è la formula di Kubo per la conducibilità elettrica, che è proprio quel tensore $\sigma$ tale che $\mathbf J = \sigma \mathbf E$, ovvero
$$\sigma_{ij} = \frac{1}{\hbar\omega}\int_0^{\infty} \langle [ J_j(0),J_i(t^{\prime\prime})]\rangle_0 e^{i\omega t^{\prime\prime}} dt^{\prime\prime}$$
Tipicamente $\mathbf J = -e \dot{\mathbf x} = \mathbf p -e\mathbf A$, per cui la conducibilità può essere calcolata esattamente. Una particolare applicazione della formula di Kubo è il calcolo della conducibilità dell’effetto Hall, che vedremo in un prossimo articolo.