In questo articolo classifichiamo tutti i gruppi il cui ordine è minore o uguale a 8. Per trovarli tutti, utilizzeremo due teoremi importanti, il teorema di Lagrange e il teorema di Cauchy, di cui abbiamo parlato qui e qui. Invitiamo a leggere quegli articoli per la dimostrazione dei teoremi e dei corollari collegati.
Risultati preliminari
Prima di tutto enunciamo due corollari al teorema di Lagrange, di cui abbiamo già parlato qui, in cui troverete anche le dimostrazioni:
Corollario 1. Se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora l’ordine di $H$ divide l’ordine di $G$.
Corollario 2. Se $g$ è un elemento di $G$, allora l’ordine di $g$ divide l’ordine di $G$.
Utilizzeremo anche i due seguenti risultati, che dimostriamo:
Proposizione 3. Se $G$ contiene un elemento di ordine $|G|$, allora è ciclico.
Dimostrazione. Sia $g$ l’elemento di ordine $|G|$. Ciò vuol dire che il sottogruppo ciclico $\langle g\rangle$ generato da $g$ ha ordine $|G|$, per cui esaurisce il gruppo. $\square$
Corollario 4. (Gruppi di ordine primo) Se l’ordine di $G$ è primo, allora $G$ è ciclico.
Dimostrazione. Sia $|G|=p$ primo. Dal corollario 1, segue che l’ordine degli elementi di $G$ è $1$ oppure è $p$. Ma l’unico elemento di ordine uno è l’identità, per cui $G$ deve contenere almeno un elemento di ordine $p$. Segue dalla Proposizione 3 che $G$ è ciclico. $\square$
Il teorema di Cauchy, dimostrato qui, ci tornerà molto utile:
Teorema di Cauchy. Se $p$ è un numero primo che divide $|G|$, allora $G$ contiene un elemento di ordine $p$.
Rimane da dimostrare solo un ultimo risultato preliminare:
Proposizione 5. (prodotto di gruppi ciclici) Se $m$ e $n$ sono coprimi allora il prodotto di gruppi ciclici è ciclico, $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{mn}$.
Dimostrazione. Basta dimostrare che $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ contiene un elemento di ordine $mn$. Poiché entrambi sono ciclici, abbiamo $a \in \mathbb{Z}_n$ e $b \in \mathbb{Z}_m$ di ordine $n$ e $m$ rispettivamente. Consideriamo quindi l’elemento $(a,b) \in \mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$. Ora se $(a,b)^N = e$ abbiamo anche $a^N = e$ e $b^N = e$. Poiché $a$ e $b$ hanno ordine $n$ e $m$ rispettivamente, allora sia $n$ che $m$ dividono $N$. Poiché sono coprimi, allora anche $nm$ divide $N$. Per cui l’ordine di $(a,b)$ è un multiplo di $nm$. Ma $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ ha ordine $nm$, per cui tutti gli elementi hanno al massimo ordine $nm$: segue che $(a,b)$ ha ordine $nm$ e quindi $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m$ è ciclico: $\mathbb{Z}_n \times \mathbb{Z}_m \cong \mathbb{Z}_{nm}$. $\square$
Classificazione
Gruppi di ordine 1. L’unico gruppo di ordine uno è il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_1$.
Dimostrazione. Ogni gruppo deve contenere l’identità, e poiché il gruppo ha ordine $1$ allora l’identità è l’unico elemento. $\square$
Gruppi di ordine 2. L’unico gruppo di ordine due è il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_2$.
Dimostrazione. Abbiamo due elementi: uno è l’identità $e$. Chiamiamo l’altro $a$. Poiché il gruppo ha ordine due abbiamo due opzioni per $a^2$: o $a^2 = e$ oppure $a^2=a$. Ma se $a^2=a$ allora $a=e$, contro l’ipotesi che $a$ non è l’identità. Per cui $a^2 = e$ e il gruppo è il gruppo ciclico di ordine 2. Alternativamente segue dal corollario 4. $\square$
Gruppi di ordine 3. L’unico gruppo di ordine tre è il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_3$.
Dimostrazione. Possiamo fare un analisi come nel caso precedente, oppure usare direttamente il corollario 4. $\square$
Gruppi di ordine 4. Ci sono due gruppi di ordine 4: il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_4$ e il prodotto diretto $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$.
Dimostrazione. Se il gruppo contiene un elemento di ordine 4, allora dal corollario 3 è ciclico. Per il teorema di Lagrange (corollario 2) gli ordini degli elementi del gruppo devono dividere $4$, quindi gli ordini possibili sono $1,2,4$. Per ipotesi non abbiamo elementi di ordine $4$, quindi gli elementi diversi dall’identità hanno ordine $2$. Chiamiamo gli elementi $e,a,b,c$; allora $a^2=b^2=c^2=e$. Ora consideriamo il prodotto $ab$. Se $ab \neq e$ allora ha ordine $2$, per cui $(ab)^2=e$ e quindi
$$abab=e \implies aba = b \implies ba = ab$$ cioè $a$ e $b$ commutano. Inoltre $ab$ deve essere uno di $e,a,b,c$ perché il gruppo ha ordine 4. Non può essere né $a$ né $b$ perché ciò implicherebbe $b=e$ e $a=e$ rispettivamente. Non può neanche essere $e$, perché ciò implicherebbe $b=a^{-1}=a$. Per cui dev’essere $c=ab$. Quindi abbiamo il gruppo $e, a,b,ab$ con $a$ $b$ che commutano. Identificando $e \to (e,e)$, $a \to (a,e)$, $b \to (e,b)$ e $ab \to (a,b)$ otteniamo un isomorfismo con $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Inoltre notiamo che questo gruppo non è isomorfo a $\mathbb{Z}_4$, poiché contiene solo elementi di ordine 2, mentre $\mathbb{Z}_4$ contiene un elemento di ordine 4. $\square$
Gruppi di ordine 5. L’unico gruppo di ordine cinque è il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_5$
Dimostrazione. Segue dal corollario 4. $\square$
Gruppi di ordine 6. I gruppi di ordine sei sono il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_6$ e il gruppo diedrale $D_3$.
Dimostrazione. Se il gruppo contiene un elemento di ordine $6$ allora è ciclico ed è $\mathbb{Z}_6$. Altrimenti per il teorema di Lagrange può contenere solo elementi di ordine 2 e ordine 3. Per il teorema di Cauchy, sappiamo che contiene sia un elemento di ordine 2 che un elemento di ordine 3. Sia $a$ l’elemento di ordine tre. Allora esso genera un sottogruppo ciclico di ordine 3, $\langle a \rangle=(e,a,a^2)$. Poiché $\langle a \rangle$ ha ordine 3, allora ha indice 2, per cui è normale. Sia $b$ un elemento di ordine 2. Nessun elemento di $\langle a \rangle$ ha ordine 2, per cui $b \not\in \langle a \rangle$. Consideriamo $bab^{-1}$. Poiché $\langle a \rangle$ è normale, allora $bab^{-1} \in \langle a \rangle$. Abbiamo tre possibilità:
- $bab^{-1}=e$. Allora $ba=b$ e quindi $a=e$, una contraddizione.
- $bab^{-1}=a$. Allora $ba = ab$ e quindi $\langle a \rangle$ e $\langle b \rangle$ sono due sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z}_3$ e $\mathbb{Z}_2$ rispettivamente che commutano tra di loro, per cui il gruppo è isomorfo a $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2$ tramite un isomorfismo simile a quello del caso di ordine 4. Ma dalla proposizione 5 $\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_2 \cong \mathbb{Z}_6$ e quindi il gruppo è ciclico.
- $bab^{-1}=a^2$ In tal caso abbiamo $bab=a^{-1}$ poiché $b$ ha ordine 2 e $a$ ha ordine 3. Queste sono le relazioni che definiscono il gruppo diedrale $D_3$.
Pertanto un gruppo di ordine sei è ciclico o diedrale. $\square$
Gruppi di ordine 7. L’unico gruppo di ordine sette è il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_7$.
Dimostrazione. Segue dal corollario 4. $\square$
Gruppi di ordine 8. I gruppi di ordine otto sono il gruppo ciclico $\mathbb{Z}_8$, i prodotti diretti $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$ e $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$, il gruppo diedrale $D_4$ e il gruppo dei quaternioni $Q_8$.
Dimostrazione. Se il gruppo contiene un elemento di ordine 8, allora è ciclico ed è $\mathbb{Z}_8$. Altrimenti i possibili ordini degli elementi sono 4 e 2. Se il gruppo contiene solo elementi di ordine 2 allora è abeliano: infatti due elementi a caso $a$ e $b$ hanno ordine due, così come $ab$. Per cui $(ab)^2=e$ e quindi $ab = ba$. Presi due elementi $a,b$ con $a \neq b$ allora il sottogruppo $(a,b)$ da essi generato è isomorfo a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ (l’isomorfismo è lo stesso del caso di ordine 4). Ma questo non è l’intero gruppo, per cui esiste un elemento $c$ che non appartiene a $(a,b)$. Questo forma un gruppo di ordine 2 che commuta con $(a,b)$ per cui il gruppo $(a,b,c)$ da essi generato è isomorfo a $(a,b) \times (c) \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Questo ha ordine 8, per cui è l’intero gruppo.
L’altra possibilità è che il gruppo contenga un elemento di ordine di $4$, diciamo $a$. Allora il sottogruppo $\langle a \rangle$ generato da $a$ ha ordine 4, per cui ha indice 2 ed è quindi normale. Quindi $G/\langle a \rangle$ è il gruppo ciclico di ordine 2 generato da un qualche $b\langle a \rangle$. Quindi $b^2\langle a \rangle = \langle a \rangle$, ovvero $b^2 \in \langle a \rangle$, e in particolare $b^2$ commuta con $a$. Quali sono le possibilità per $b^2$? Se $b^2 = a$ oppure $b^2 = a^3$ allora $b$ ha ordine 8, possibilità che abbiamo escluso per ipotesi. Quindi $b^2 = e$ oppure $b^2 = a^2$. Consideriamo $bab^{-1}$. Poiché $\langle a \rangle$ è normale, $bab^{-1} = a^l$. L’ordine di $bab^{-1}$ è lo stesso di $a$, cioè 4. Tuttavia $a^2$ ha ordine 2 ed $e$ ha ordine 1, per cui abbiamo due possibilità: $bab^{-1}=a$ oppure $bab^{-1}=a^3 = a^{-1}$. Quindi:
- Se $bab^{-1}=a$ allora $ba =ab$ per cui $a$ e $b$ commutano. Se $b^2 =e$ allora abbiamo il prodotto diretto $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$. Se invece $b^2 =a^2$ abbiamo $(ba^{-1})^2 = e$ e quindi il gruppo è generato da $a$ (ordine 4) e $ba^{-1}$ (ordine 2) che commutano tra loro, per cui è di nuovo isomorfo a $\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_2$
- Se invece $bab^{-1}= a^{-1}$ allora abbiamo due casi: se $b^2=e$ allora la condizione diventa $bab = a^{-1}$, che definisce il gruppo diedrale $D_4$. Se invece $b^2=a^2$ allora scriviamo $i=a$, $j=b$ e $a^2 = b^2 = -1$ (giustamente di ordine 2) e $k=ab$. Allora abbiamo il gruppo con elementi $\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ e relazioni $i^2 = j^2 = k^2 =ijk= -1$, cioè i quaternioni.
Ciò conclude la dimostrazione. $\square$