In un precedente articolo abbiamo visto il limite di Bargmann al numero di stati vincolati di un sistema, valido nel caso di simmetria sferica. Con gli stessi metodi possiamo ottenere un limite inferiore all’energia dello stato fondamentale del sistema.
Utilizzeremo notazioni e risultati del precedente articolo, per cui consiglio di rivederlo.
Prima di tutto ripetiamo il calcolo del precedente problema, ma senza porre $E=0$ nell’equazione di Schrodinger. Cerchiamo cioè il numero di stati con energia inferiore a un qualche valore negativo $E=-k^2$. Troviamo che $\phi$ può essere espressa di nuovo in termini di una funzione di Green,
$$\phi(r)=\lambda \int_0^\infty G(r,r’;k) |V(r’)|\phi(r’)dr’$$
che stavolta soddisferà
$$-G^{\prime\prime} +k^2 G + \frac{1}{r^2}l(l+1)G =\delta(r-r’)$$
La soluzione di quest’equazione è data da un prodotto di funzioni di Bessel sferiche $j,h$,
$$G(r,r’;k) = -k r_< r_> j_l(ikr_<) h_l(ikr_>)$$
dove $r_< = \min(r,r’)$ e $r_> = \max(r,r’)$. Pertanto possiamo definire di nuovo il kernel e calcolarne la traccia, ottenendo:
$$n_l(E \leq -k^2) < \int_0^\infty G(r,r;k) |V(r)|dr=\int_0^\infty r |V(r)| (-k r) j_l(ikr) h_l(ikr)dr$$
La funzione $G(r,r;k)$, e quindi l’integrale, è una funzione monotona decrescente di $k$ e $l$. Ciò è necessario da un punto di vista fisico, e infatti possiamo calcolare a partire dall’equazione per $G$ che per incrementi infinitesimali $\delta k, \delta l$ abbiamo
$$\delta G(r,r;k) = -\int_0^\infty \bqty{2k \delta k +\frac{1}{r^2} (2l+1)\delta l}\delta G(r,r’;k)^2dr’ < 0$$
Nel caso in cui $l$ sia fissato e ci siano $n$ stati vincolati, il limite di Bargmann dà $1 \leq n < \int_0^\infty r |V(r)|dr$. Poiché l’integrale sopra è monotono decrescente rispetto a $k$, esisterà una sola soluzione $k_1$ dell’equazione
$$\int_0^\infty G(r,r;k) |V(r)|dr=1$$
e quindi il limite appena trovato ci dà
$$n_l(E \leq -k_1^2) < \int_0^\infty G(r,r;k_1) |V(r)|dr = 1$$
E quindi non c’è nessuno stato vincolato con energia inferiore a $-k_1^2$. Quindi l’energia dello stato fondamentale soddisfa
$$E_0 > -k_1^2$$
Chiaramente la soluzione dell’equazione per $k_1$ è estremamente difficile. Nel caso semplificato in cui $l=0$ (per la monotonia decrescente rispetto a $l$, questo è anche lo stato a energia più bassa) le funzioni sferiche di Bessel si semplificano, e l’equazione per $k_1$ diventa:
$$\int_0^\infty (1-e^{-2k_1 r}) |V(r)| dr =2k_1$$
Anche questa non è un’equazione che si può risolvere in generale. Una stima brutale è
$$ k_1 < \frac{1}{2} \int_0^\infty |V(r)| dr$$
e quindi la stima per l’energia dello stato fondamentale è
$$\boxed{E_0 > -\frac{1}{4}\pqty{\int_0^\infty |V(r)| dr}^2}$$
Questo limite ha una qualche utilità solo se l’integrale converge; in altre parole $V(r)$ deve tendere a zero più velocemente di $1/r$.