Consideriamo un sistema quantistico la cui funzione d’onda soddisfa l’equazione di Schrodinger in un potenziale sfericamente simmetrico:
−∇2ψ+V(r)ψ=Eψ
dove abbiamo usato unità appropriate in modo da togliere le costanti. Senza risolvere l’equazione, esiste un modo per conoscere il numero di stati vincolati? Riusciremo a trovare non un numero esatto, ma un limite superiore al numero di stati vincolati.
Innanzitutto, per la simmetria sferica (come ad esempio nel caso dell’atomo di idrogeno) possiamo scomporre ψ nel prodotto di una parte radiale e di un’armonica sferica, in particolare ψ(r,θ,φ)=1rϕ(r)Ylm(θ,φ), ottenendo l’equazione radiale
−ϕ′′+1r2l(l+1)ϕ+V(r)ϕ=Eϕ
Chiamiamo nl(V) il numero di stati vincolati corrispondenti al potenziale V con momento angolare l. In altre parole, nl(V) è il numero di soluzioni indipendenti di (∗) con E<0. Allora il limite di Bargmann è
nl(V)<12l+1∫∞0r|V(r)|dr
In altri termini, se l’integrale a destra ha valore finito (cosa non ovvia), allora c’è solo un numero finito di stati vincolati per ogni valore l del momento angolare. Notiamo infatti che 2l+1 è la degenerazione dovuta al momento angolare. Inoltre, sempre se l’integrale ha valore finito, gli stati vincolati diminuiscono all’aumentare di l; ci sarà poi un valore massimo di l oltre il quale non abbiamo più stati vincolati.
L’osservazione fondamentale per dimostrare la formula è che se il potenziale diminuisce da qualche parte, l’energia degli stati vincolati non aumenta e quindi il loro numero non può diminuire. Ciò è intuitivamente vero; è facile verificare che è vero per variazioni piccole del potenziale (in teoria delle perturbazioni), e quindi è vero anche per una serie di piccole variazioni. Quindi poiché necessariamente V≥−|V| allora
nl(V)≤nl(−|V|)
Ora rimpiazziamo −|V| con −λ|V| per 0<λ≤1. Se λ aumenta, le energie degli stati vincolati diminuiscono e quindi il loro numero non diminuisce. Partendo da λ=0, in cui non c’è nessuno stato vincolato, raggiungiamo un valore critico λ1 dove appare per la prima volta uno stato vincolato con E=0. Aumentando λ l’energia di questo stato diminuisce e ad un certo punto raggiungeremo un secondo valore critico λ2 per il quale un secondo stato vincolato appare, ecc. Il processo finisce quando λ=1 e quindi λn≤1<λn+1, per cui abbiamo n stati vincolati.
Consideriamo l’equazione per ϕ con E=0, perché ci interessano quei valori di λ per cui E=0:
−ϕ′′+1r2l(l+1)ϕ=λ|V(r)|ϕ
La soluzione è data in termini della funzione di Green G(r,r′) del problema, che soddisfa
−G′′+1r2l(l+1)G=δ(r−r′)
La soluzione di quest’ultima equazione può essere trovata con metodi standard. Se r<=min(r,r′) e r>=max(r,r′) allora otteniamo
G(r,r′)=12l+1rl+1<r−l>
ovvero:
ϕ(r)=λ∫∞0G(r,r′)|V(r′)|ϕ(r′)dr′
L’equazione può essere riscritta come:
∫∞0K(r,r′)u(r′)dr′=1λu(r)
dove abbiamo posto u(r)=|V(r)|1/2ϕ(r) e K(r,r′)=|V(r)|1/2G(r,r′)|V(r′)|1/2. In questa maniera gli 1/λ sono gli autovalori del kernel integrale K.
La traccia del kernel è quindi
∞∑11λα=∫∞0K(r,r)dr=12l+1∞∑0r|V(r)|
Se gli stati vincolati sono n avremo quindi λ1<λ2…λn<1 e quindi poiché i λ sono positivi, abbiamo
∞∑11λα≥n∑11λα>n
Segue quindi che
nl(V)≤nl(−|V|)<12l+1∫∞0r|V(r)|dr
che è il risultato che cercavamo, detto limite di Bargmann.