Il limite di Bargmann al numero di stati vincolati di un sistema

Consideriamo un sistema quantistico la cui funzione d’onda soddisfa l’equazione di Schrodinger in un potenziale sfericamente simmetrico:

$$-\nabla^2 \psi + V(r)\psi=E\psi$$

dove abbiamo usato unità appropriate in modo da togliere le costanti. Senza risolvere l’equazione, esiste un modo per conoscere il numero di stati vincolati? Riusciremo a trovare non un numero esatto, ma un limite superiore al numero di stati vincolati.

Innanzitutto, per la simmetria sferica (come ad esempio nel caso dell’atomo di idrogeno) possiamo scomporre $\psi$ nel prodotto di una parte radiale e di un’armonica sferica, in particolare $\psi(r,\theta,\varphi) = \frac{1}{r}\phi(r) Y_{lm}(\theta,\varphi)$, ottenendo l’equazione radiale

$$-\phi^{\prime\prime} +\frac{1}{r^2}l(l+1)\phi+ V(r)\phi = E\phi\tag{*}$$

Chiamiamo $n_l(V)$ il numero di stati vincolati corrispondenti al potenziale $V$ con momento angolare $l$. In altre parole, $n_l(V)$ è il numero di soluzioni indipendenti di $(*)$ con $E < 0$.  Allora il limite di Bargmann è

$$\boxed{n_l(V) < \frac{1}{2l+1} \int_0^\infty r\abs{V(r)} dr}$$

In altri termini, se l’integrale a destra ha valore finito (cosa non ovvia), allora c’è solo un numero finito di stati vincolati per ogni valore $l$ del momento angolare. Notiamo infatti che $2l+1$ è la degenerazione dovuta al momento angolare. Inoltre, sempre se l’integrale ha valore finito, gli stati vincolati diminuiscono all’aumentare di $l$; ci sarà poi un valore massimo di $l$ oltre il quale non abbiamo più stati vincolati.

L’osservazione fondamentale per dimostrare la formula è che se il potenziale diminuisce da qualche parte, l’energia degli stati vincolati non aumenta e quindi il loro numero non può diminuire. Ciò è intuitivamente vero; è facile verificare che è vero per variazioni piccole del potenziale (in teoria delle perturbazioni), e quindi è vero anche per una serie di piccole variazioni. Quindi poiché necessariamente $V \geq -\abs{V}$ allora

$$n_l(V) \leq n_l(-\abs{V})$$

Ora rimpiazziamo  $-\abs{V}$ con $-\lambda\abs{V}$ per $0 <\lambda \leq 1$. Se $\lambda$ aumenta, le energie degli stati vincolati diminuiscono e quindi il loro numero non diminuisce. Partendo da $\lambda = 0$, in cui non c’è nessuno stato vincolato, raggiungiamo un valore critico $\lambda_1$ dove appare per la prima volta uno stato vincolato con $E=0$. Aumentando $\lambda$ l’energia di questo stato diminuisce e ad un certo punto raggiungeremo un secondo valore critico $\lambda_2$ per il quale un secondo stato vincolato appare, ecc. Il processo finisce quando $\lambda=1$ e quindi $\lambda_n \leq 1 < \lambda_{n+1}$, per cui abbiamo $n$ stati vincolati.

Consideriamo l’equazione per $\phi$ con $E=0$, perché ci interessano quei valori di $\lambda$ per cui $E=0$:

$$-\phi^{\prime\prime} +\frac{1}{r^2}l(l+1)\phi =\lambda\abs{V(r)}\phi$$

La soluzione è data in termini della funzione di Green $G(r,r’)$ del problema, che soddisfa

$$-G^{\prime\prime} +\frac{1}{r^2}l(l+1)G =\delta(r-r’)$$

La soluzione di quest’ultima equazione può essere trovata con metodi standard. Se $r_< = \min(r,r’)$ e $r_> = \max(r,r’)$ allora otteniamo

$$G(r,r’)=\frac{1}{2l+1}r_<^{l+1}r_>^{-l}$$

ovvero:

$$\phi(r)=\lambda \int_0^\infty  G(r,r’) |V(r’)|\phi(r’)dr’$$

L’equazione può essere riscritta come:

$$\int_0^\infty  K(r,r’)u(r’)dr’=\frac{1}{\lambda}u(r)$$

dove abbiamo posto $u(r) = |V(r)|^{1/2} \phi(r)$ e $K(r,r’)=|V(r)|^{1/2} G(r,r’)|V(r’)|^{1/2}$. In questa maniera gli $1/\lambda$ sono gli autovalori del kernel integrale $K$.

La traccia del kernel è quindi

$$\sum_1^{\infty} \frac{1}{\lambda_\alpha}=\int_0^\infty  K(r,r)dr = \frac{1}{2l+1}\sum_0^\infty r |V(r)|$$

Se gli stati vincolati sono $n$ avremo quindi $\lambda_1 < \lambda_2 \ldots \lambda_n < 1$ e quindi poiché i $\lambda$ sono positivi, abbiamo

$$\sum_1^\infty \frac{1}{\lambda_\alpha} \geq \sum_1^n \frac{1}{\lambda_\alpha}> n$$

Segue quindi che

$$n_l(V) \leq n_l(-|V|) < \frac{1}{2l+1}\int_0^\infty  r |V(r)|dr$$

che è il risultato che cercavamo, detto limite di Bargmann.