Nello studio di un gruppo di Lie $G$, è spesso utile considerare la sua algebra di Lie. Tuttavia sappiamo che esistono gruppi diversi (ad esempio $\SO(3)$ e $\SU(2)$) che hanno la stessa algebra di Lie, per cui l’algebra di Lie racchiude alcune informazioni sul gruppo, ma non tutte le informazioni.
Il teorema di Ado, molto difficile da dimostrare, afferma che tutte le algebre di Lie possono essere rappresentate fedelmente da un’algebra di matrici. Tuttavia ciò non è vero per i gruppi di Lie, e questo è un primo fatto importante che ci fa capire che tra i due oggetti ci sono differenze notevoli. I due seguenti risultati formano la base per capire la relazione tra algebre e gruppi di Lie:
Teorema. (Secondo teorema di Lie) Siano $G,H$ gruppi di Lie e $\mathfrak{g}, \mathfrak{h} le loro algebre di Lie. Se $G$ è semplicemente connesso e $\phi : \mathfrak g \to \mathfrak h$ è un omomorfismo di algebre di Lie allora esiste ed è unico l’omomorfismo $\Phi : G \to H$ tale che $\phi = d\Phi$.
Ciò significa che nel caso in cui il gruppo di partenza è semplicemente connesso, allora gli omomorfismi dell’algebra di Lie sono in corrispondenza biunivoca con gli omomorfismi del gruppo. Un’importante applicazione di questo risultato è nella teoria delle rappresentazioni: se un gruppo è semplicemente connesso, allora ogni rappresentazione dell’algebra corrisponde a una rappresentazione del gruppo. Al contrario, se il gruppo non è semplicemente connesso ci saranno rappresentazioni dell’algebra che non sono rappresentazioni del gruppo (ad esempio la rappresentazione spin $1/2$ di $\mathfrak{so}(3)$. Il prossimo teorema completa questa idea della corrispondenza tra gruppi semplicemente connessi e algebra:
Teorema. (Terzo teorema di Lie) Ogni algebra di Lie è l’algebra di un un gruppo di Lie semplicemente connesso.
Dal secondo teorema segue che il gruppo semplicemente connesso $G$ associato all’algebra $\mathfrak g$ è unico a meno di isomorfismi. Pertanto la corrispondenza algebre-gruppi è biunivoca nel caso in cui il gruppo sia semplicemente connesso.
In altri termini, l’algebra di Lie contiene tutte le informazioni del gruppo di Lie ad eccezione della topologia del gruppo. In primo luogo, per definizione l’algebra di Lie vede solo il componente connesso all’identità del gruppo di Lie, e quindi non potrà mai sapere quanti sono i componenti connessi di un gruppo (questi sono comunque tutti omeomorfici). Il numero di componenti connessi di un gruppo è catturato dal gruppo di omotopia $\pi^0$. Tuttavia, il fatto che il gruppo sia semplicemente connesso o meno è catturato dal gruppo di omotopia $\pi^1$, cioè il gruppo fondamentale. Infatti abbiamo:
Teorema. Dato un gruppo connesso $G$ abbiamo un’estensione centrale $\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>>> \pi(G) @>>> \widetilde G @>>> G @>>> 1
\end{CD}
dove $\widetilde G$ è il rivestimento universale di $G$ e $\pi(G)$ è il gruppo fondamentale di $G$, che per un gruppo di Lie è necessariamente centrale e discreto. $G$ e $\widetilde G$ hanno la stessa algebra di Lie e in particolare $G = \widetilde G/\pi(G)$
Pertanto data un’algebra di Lie $\mathfrak g$ possiamo costruire il gruppo semplicemente connesso $\widetilde G$ come garantito dal terzo teorema di Lie; a quel punto possiamo cercare tutti i suoi sottogruppi centrali discreti e per ognuno costruire un diverso gruppo di Lie quozientando; in questa maniera costruiamo tutti i gruppi di Lie connessi con la stessa algebra di Lie, ma topologia diversa. In questo senso, ciò che manca all’algebra di Lie per descrivere completamente il gruppo è la topologia del gruppo: in altri termini, i vari gruppi di omotopia.
Notiamo inoltre che ogni gruppo di Lie ha il secondo gruppo di omotopia banale, $\pi^2=0$ e per un gruppo di Lie semplice $\pi^3 = \mathbb{Z}$. In ogni caso, per il teorema sopra, la conoscenza dei gruppi di omotopia di ordine più elevato non è cruciale per capire la struttura del gruppo di Lie.
La mappa esponenziale
A partire da un’algebra di Lie possiamo ottenere alcuni elementi del gruppo utilizzando la mappa esponenziale. Se $X \in \mathfrak{g}$ allora è sempre vero che $e^X \in G$. Tuttavia non è detto che la mappa esponenziale sia iniettiva o suriettiva.
Abbiamo ad esempio il seguente difficile teorema, come spiegato in questa risposta su Math.SE:
Teorema. (Dixmier-Saito) Dato un gruppo di Lie reale $G$ con algebra $\mathfrak g$, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
- $\exp$ è iniettiva
- $\exp$ è biettiva
- $G$ è risolubile e semplicemente connesso e $\mathfrak g$ non ammette $\mathfrak e$ o $\widetilde{\mathfrak{e}}$ come sottoalgebre.
- $G$ non ha sottogruppi chiusi isomorfi a $U(1)$, il rivestimento universale di $SL(2,\mathbb R)$ o ai gruppi semplicemente connessi $E$ o $\widetilde E$ le cui algebre di Lie sono rispettivamente $\mathfrak e$ e $\widetilde{\mathfrak{e}}$.
In questo caso $\mathfrak e$ è l’algebra reale tridimensionale con tre generatori $(H,X,Y)$ e commutatori $[H,X]=Y$, $[H,Y]=-X$, $[X,Y]=0$, mentre $\widetilde{\mathfrak{e}}$ è una modificazione di $\mathfrak e$ in cui abbiamo generatori $(H,X,Y,Z)$ dove $Z$ commuta con tutti e $[X,Y]=Z$, mentre gli altri commutatori restano uguali. Vediamo quindi che:
- Iniettività e biettività sono equivalenti, cioè la suriettività segue dall’iniettività ma non viceversa.
- I gruppi dell’esempio quattro sono gruppi che non possono avere esponenziale iniettivo: il caso classico è appunto quello di $U(1)\cong S^1$, per cui $e^{i0} = e^{i2\pi}$.
- Nel caso in cui $G$ sia risolubile (o semplicemente connesso), dev’essere anche connesso perché l’esponenziale sia iniettivo: è chiaro che non c’è speranza altrimenti, perché la mappa esponenziale vede solo il componente connesso all’identità
- La condizione che $G$ sia semplicemente connesso è necessaria ma non sufficiente; ciò potrebbe essere una sorpresa, dato che ad esempio è sufficiente perché ci sia corrispondenza tra le rappresentazioni
- Una condizione necessaria è che $G$ sia risolubile, ovvero dev’essere connesso e $\mathfrak g$ dev’essere risolubile. Ma ad esempio nessuna algebra di Lie semisemplice è risolubile, e quindi l’esponenziale non può essere iniettivo in questi casi di notevole interesse.
Abbiamo inoltre il seguente risultato:
Teorema. Per un gruppo di Lie semplicemente connesso e nilpotente $\exp$ è biettiva.
Un gruppo nilpotente è sempre risolubile, e si può dimostrare che un’algebra nilpotente non ammette i sottogruppi malevoli del punto 3. Tuttavia i gruppi nilpotenti sono una classe piuttosto ridotta.
Abbiamo visto che l’iniettività garantisce la suriettività, ma non viceversa. Vale allora la pena di studiare separatamente i casi in cui la mappa esponenziale è suriettiva. Abbiamo ad esempio il seguente (difficile) teorema:
Teorema. Se $G$ è compatto, allora la mappa esponenziale è sempre suriettiva e mai iniettiva.
Ciò segue dalla particolare struttura dei gruppi di Lie compatti, che sono formati in un qualche senso da “tori massimali”: $\exp$ è suriettiva sui tori e quindi su $G$, mentre ogni toro contiene un sottogruppo $S^1$, per cui la mappa non è mai iniettiva. In generale abbiamo la seguente proposizione:
Teorema. Nei seguenti casi $\exp$ è suriettiva:
- $G$ è connesso e compatto;
- $G$ è connesso e nilpotente;
- $G = \mathrm{GL}(n,\mathbb{C})$
La cosa importante da portare a casa è che ci interessa molto poco l’iniettività di $\exp$; la suriettività è molto più utile, e ad ogni modo spesso non ci interessano affatto le proprietà dell’esponenziale: ad esempio per la corrispondenza delle rappresentazioni di gruppo e algebra è sufficiente che il gruppo sia semplicemente connesso.