In modo simile al caso dei gruppi, le estensioni centrali di un’algebra di Lie sono classificate dai cocicli. In modo più preciso abbiamo in questo caso:
Definizione. Un cociclo in $\frak g$ è una funzione bilineare antisimmetrica $\phi: \frak g \times \frak g \to \mathbb F$ tale che per $X,Y,Z \in \frak g$
$$\phi(X,[Y,Z])+\phi(Y,[Z,X])+\phi(Z,[X,Y])=0$$
Due cocicli sono equivalenti se la loro differenza è la “derivata” di un cocatena:
Definizione. Una cocatena è una funzione lineare $f :\frak{g} \to \mathbb F$.
Data una cocatena possiamo definire un cociclo nella seguente maniera:
$$\delta f (X, Y) = f([X,Y])$$
Potete controllare che soddisfa le proprietà richieste. Possiamo pensare a $\delta$ come ad una sorta di “derivata” (infatti soddisfa la regola di Leibniz per la moltiplicazione). Chiamando $Z^2(\frak g, \mathbb{F})$ lo spazio dei cocicli e $C^1(\frak g, \mathbb{F})$ lo spazio delle cocatene, usando l’operatore $\delta: C^1 \to Z^2$ otteniamo tutti i cocicli che vengono da cocatene, cioè l’insieme $B^2(\frak g, \mathbb{F}) := \mathrm{im}\delta$.
Definizione. Il secondo gruppo di coomologia è $H^2(\mathfrak{g}, \mathbb{F}) = Z^2(\mathfrak{g}, \mathbb{F})/B^2(\mathfrak{g}, \mathbb{F})$, cioè sono le classi di equivalenza di cocicli: due cocicli sono equivalenti se la differenza è il $\delta$ di una cocatena.
Vogliamo dimostrare il seguente teorema:
Teorema. Se $\frak g$ è semisemplice, allora $H^2(\mathfrak{g}, \mathbb{F})=0$.
Ciò significa che tutti i cocicli sono equivalenti al cociclo banale, e di conseguenza tutte le estensioni centrali di un’algebra di Lie sono banali. In questo senso le algebre di Lie semisemplici sono oggetti molto “rigidi” (inestendibili). Per dimostrare il teorema servono alcuni fatti.
Definizione. Una funzione $\delta: \frak g \to \frak g$ è una derivazione se soddisfa la legge di Leibniz:
$$\delta [X,Y] = [\delta X, Y] + [X, \delta Y]$$
Lo spazio $\mathrm{Der}(\frak g)$ delle derivazioni è un’algebra di Lie con la parentesi data da $[\delta_1, \delta_2] = \delta_1 \circ \delta_2-\delta_2 \circ \delta_1$. Possiamo controllare che anche questa è una derivazione.
Definizione. Una derivazione $\delta$ è interna se esiste un $X \in \frak g$ tale che $\delta = \mathrm{ad}_X$, ovvero se $\delta(Y) =\mathrm{ad}_X (Y) \equiv [X,Y]$ per ogni $Y$.
La mappa è semplicemente la mappa aggiunta dell’algebra, $\mathrm{ad}_X: Y \to [X,Y]$. $\mathrm{ad}_X$ è una derivazione per l’identità di Jacobi.
Proposizione. Tutte le derivazioni di un’algebra di Lie semisemplice sono interne.
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che la mappa $\mathrm{ad}: \frak g \to \mathrm{Der}(\frak g)$ che assegna $X \to \mathrm{ad}_X$ è un isomorfismo. Il fatto che sia un’omomorfismo segue dal fatto che:
$$\mathrm{ad}_{[X,Y]} = [\mathrm{ad}_{X},\mathrm{ad}_{Y}]$$
come può essere facilmente verificato usando l’identità di Jacobi.
Vogliamo dimostrare che è iniettiva. Supponiamo che $\mathrm{ad}_{X}(Y)=0$ per ogni $Y$. Ciò significa semplicemente $[X,Y]=0$ per ogni $Y$, ovvero $X \in Z(\frak g)$, il centro dell’algebra. Tuttavia il centro è un’ideale abeliano, e un’algebra di Lie semisemplice ha solo ideali abeliani banali. Segue che $X=0$ e quindi $\mathrm{ad}$ è iniettiva.
Per dimostrare la suriettività consideriamo una derivazione $\delta$. È facile calcolare che
$$\begin{align*}
[\delta, \mathrm{ad}_{X}] (Y) &= \delta(\mathrm{ad}_{X}(Y))- \mathrm{ad}_{X}(\delta(Y))=\\
&=\delta([X,Y])- [X,\delta(Y)]=\\
&=[\delta(X),Y]+[X,\delta(Y)]- [X,\delta(Y)]=\\
&=[\delta(X),Y]=\mathrm{ad}_{\delta(X)}(Y)
\end{align*}$$
Per cui $[\delta, \mathrm{ad}_{X}] = \mathrm{ad}_{\delta(X)}$. Chiamando $D = \mathrm{Der}(\frak g)$ e $I = \mathrm{im}(\mathrm{ad})$ ciò significa che $[D, I] \subset I$ per cui $I$ è un’ideale di $D$. Ora sia $K_D$ la forma di Killing di $D$. Poiché $I$ è un ideale, allora la forma di Killing $K_I$ su $I$ è data semplicemente dalla restrizione ad $I$ di $K_D$. Ma $I$ è isomorfo a $\frak{g}$ tramite l’isomorfismo $X \leftrightarrow \mathrm{ad}_X$; poiché $\frak g$ è semisemplice la sua forma di Killing è non-degenere, e pertanto lo è anche $K_I$.
Sia $I^\perp$ il sottospazio di $D$ ortogonale a $I$ rispetto a $K_D$. Cioè
$$I^\perp = \{ X \in D \,\,\,\,\mathrm{t.c.}\,\,\,\,K_D(X,Y)=0\,\,\,\forall\,Y\in I \}$$
Il complemento ortogonale di un ideale rispetto alla forma di Killing è un ideale, per cui $I^\perp$ è un ideale. Inoltre la forma di Killing su $I$ è non degenere, per cui $I \cap I^\perp = \{0\}$. Poiché sono entrambi ideali, ciò implica $[I, I^\perp] = 0$. Tuttavia non sappiamo se $K_D$ è nondegenere o meno, per cui non è detto che $D$ sia la somma diretta dei due.
Ora se $\delta$ è in $I^\perp$ in tal caso $\mathrm{ad}_{\delta}=[\delta, \mathrm{ad}]=0$. Ma $\mathrm{ad}$ è iniettivo, per cui $\delta = 0$ e quindi $I^\perp=0$. Nel caso invece in cui $\delta$ non è né in $I$ né in $I^\perp$, allora ortogonalizziamo una base di $I$ usando la procedura di Gram – Schmidt ottenendo una base ortonormale $\{\gamma_i\}$ (ciò è possibile perché $K_I$ è nondegenere). Definiamo quindi una nuova derivazione:
$$\delta’ = \delta -\sum_i K_D(\delta, \gamma_i) \gamma_i$$
Per un calcolo diretto $\delta’$ è ortogonale a tutti i $\gamma_i$, per cui appartiene a $I^\perp$, quindi $\delta’=0$ e concludiamo che $\delta$ può essere espresso come combinazione lineare di elementi di $I$, per cui appartiene a $I$. Pertanto $\mathrm{ad}$ è suriettiva. $\square$
Siamo pronti a dimostrare il teorema:
Teorema. Se $\frak g$ è semisemplice, allora $H^2(\mathfrak{g}, \mathbb{F})=0$.
Dimostrazione. Vogliamo dimostrare che ogni cociclo viene da una cocatena. Sia $\phi$ un cociclo. Dato $X\in \mathfrak g$ costruiamo una mappa lineare $\rho_X : \mathfrak g \to \mathbb F$ ponendo $\rho_X(Y) = \phi(X,Y)$.
Lo spazio delle mappe lineari $\mathfrak g \to \mathbb F$ è il duale $\mathfrak g^*$. Poiché $\mathfrak g$ è semisemplice la forma di Killing è non degenere e possiamo usarla per identificare $\mathfrak g$ con $\mathfrak g^*$ tramite l’isomorfismo $\nu: \mathfrak g \to \mathfrak g^*$ dato da $\nu(X)(Y) = K(X,Y)$. Poiché $\nu$ è un isomorfismo avrà un’inversa $\nu^{-1}$ e quindi per ogni $\eta \in \mathfrak g^*$ possiamo scrivere:
$$\nu(Y) = K(\nu^{-1}(\eta),Y)$$
Pertanto abbiamo anche $\phi(X,Y) = \rho_X(Y) = K(\nu^{-1}(\rho_X),Y)$. Data K nondegenere, il cociclo $\phi$ e l’isomorfismo $\nu$ possiamo definire una derivazione $\delta$ richiedendo che soddisfi:
$$K(\nu^{-1}(\rho_X),Y)\equiv K(\delta(X),Y)$$
In questa maniera $\delta$ è una derivazione, poiché possiamo calcolare:
$$\begin{align*}
K(\delta([X,Y]),Z) &= K(\nu^{-1}(\rho_{[X,Y]}), Z)=\rho_{[X,Y]}(Z)=\\
&= \phi([X,Y],Z) = \phi(X,[Y,Z])+\phi(Y,[Z,X])=\rho_{X}([Y,Z]) + \rho_{Y}([Z,X])=\\
&=K(\delta(X),[Y,Z])+ K(\delta(Y),[Z,X])=\\
&=K([\delta(X),Y]+[X,\delta(Y)],Z)
\end{align*}$$
dove nell’ultima riga abbiamo usato la proprietà di invarianza di $K$, ovvero $K([X,Y],Z)=K(X,[Y,Z])$. Poiché $K$ è nondegenere, segue che $\delta([X,Y]) = [\delta(X),Y]+[X,\delta(Y)]$, per cui $\delta$ è una derivazione.
Tuttavia $\mathfrak g$ è semisemplice, per cui come abbiamo dimostrato prima ogni derivazione è interna. Ovvero esiste un $A \in \mathfrak g$ tale che $\delta = \mathrm{ad}_A$. Per cui abbiamo:
$$\phi(X,Y)=\rho_X(Y)=K(\delta(X),Y)=K(\mathrm{ad}_A(X),Y)=K([A,X],Y)=K(A,[X,Y])$$
dove abbiamo usato di nuovo l’invarianza della forma di Killing. Pertanto definendo
$$f(X) = K(A,X)$$
abbiamo in definitiva $\delta f(X,Y) \equiv f([X,Y]) = K(A,[X,Y]) = \phi(X,Y)$. Per cui $\phi$ viene da una cocatena, e concludiamo che tutti i cocicli sono banali. $\square$