Il presente articolo è la continuazione del precedente, dove abbiamo trovato che in un’universo in espansione:
$$ds^2 = dt^2 -a(t)^2 (dx^2+dy^2 +dz^2)$$
con
$$a(t) \sim \begin{cases} a_1 & t \to -\infty\\a_2 & t \to +\infty\end{cases}$$
Il vuoto iniziale $\ket{0_{-\infty}}$ non è uguale al vuoto finale $\ket{0_{+\infty}}$. In particolare se l’universo inizia nello stato di vuoto, cioè $\ket{0_{-\infty}}$, e non succede nulla, cosicché lo stato rimane $\ket{0_{-\infty}}$, un’osservatore alla fine dell’universo misurerà un numero di particelle non nullo anche nel vuoto iniziale, in particolare il numero è dato da $|\beta_k|^2$ dove $\beta_k$ è definito nel modo seguente (per ulteriori dettagli vedete l’articolo precedente). Innanzitutto, $\psi_k$ è la soluzione di
$$\dv{^2 \psi_k}{\tau^2} +k^2 a^4 \psi_k =0$$
dove $\tau$ soddisfa $\dv{t}{\tau}=a^3$ e richiediamo che asintoticamente
$$\psi_k (\tau) = \frac{1}{\sqrt{2 k a_1^2}} \exp{\pqty{-ik a_1^2 \tau}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, t\to -\infty$$
Il $\beta_k$ che cerchiamo è il coefficiente nell’espansione asintotica a $t\to +\infty$ di $\psi_k$, cioè
$$\psi_k (\tau)= \frac{1}{\sqrt{2 k a_2^2}}\pqty{\alpha_k e^{-ik a_2^2 \tau}+\beta_k e^{ik a_2^2 \tau}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, t\to +\infty$$
Seguiamo Parker & Toms, Quantum field theory in curved spacetime, Capitolo 2. Consideriamo direttamente $a(\tau)$ come funzione di $\tau$, che è la variabile che entra nell’equazione per $\psi_k$, mentre $t$ non ci serve. Supporremo che
$$a(\tau) = \bqty{\frac{a_2^4+a_1^4}{2}+\frac{a_2^4-a_1^4}{2} \tanh{(\tau/2)}}^{1/4}$$
La tangente iperbolica connette naturalmente $-1$ e $+1$ a $\pm \infty$ e la radice di $1/4$ serve per contrastare la quarta potenza che troviamo nell’equazione. Il fattore di $1/2$ nell’argomento della tangente semplificherà alcune formule. Sostituiamo $a(\tau)$ nell’equazione per $\psi_k$ e cambiamo variabile $\tau \to u=e^\tau$ perché $a(\tau)$ dipende da $\tau$ solo tramite $u$, sperando così di ottenere qualcosa di più semplice. Abbiamo:
$$\psi_k^{\prime\prime} + \frac{1}{u} \psi_k’ +k^2 \frac{a_1^4+ua_2^4}{u^2(u+1)} \psi_k =0$$
dove $\psi_k’ = \dv{\psi_k}{u}$. L’equazione appena trovata ha due singolarità, in $u=0,-1$. Quella in $-1$ non ci interessa perché $u$ è un esponenziale e quindi positiva. Una tecnica standard per risolvere equazioni differenziali è rimuovere le singolarità in modo da ottenere un’equazione più semplice. Perciò cerchiamo il comportamento di $\psi_k$ vicino $u=0$: poniamo $u=\epsilon$ piccolo ed espandiamo i coefficienti in serie di Taylor, tenendo solo l’ordine principale
$$\psi_k^{\prime\prime} + \frac{1}{\epsilon} \psi_k’ +k^2 \frac{a_1^4}{\epsilon^2} \psi_k =0$$
dove le derivate ora sono rispetto ad $\epsilon$. Questa è un’equazione equidimensionale che quindi ha una soluzione della forma $\psi_k \sim \epsilon^c$. Sostituendo abbiamo un’equazione per $c$ con soluzioni $c = \pm i k a_1^2$. Per cui abbiamo trovato che vicino a $0$, $\psi_k\sim u^{\pm ik a_1^2}$. Ora possiamo rimuovere la singolarità ponendo
$$\psi_k = u^{-ika_1^2}f(u)$$
Avremmo potuto scegliere una qualsiasi delle due soluzioni, ma abbiamo scelto il $-$ dando un’occhiata alla forma asintotica di $\psi_k$ per $t \to -\infty$. Sostituendo otteniamo:
$$u(u+1) f^{\prime\prime}(u)+(u+1)(1-2ika_1^2) f'(u) + k^2(a_2^4-a_1^4)f(u)=0$$
Questa è l’equazione ipergeometrica, la cui soluzione è una funzione ipergeometrica $F(a,b;c;-u)$ con $a=-c_1+c_2$, $b=-c_1-c_2$, $c=1-2c_1$ dove abbiamo posto $c_1 = ika_1^2$ e $c_2 = ika_2^2$. Per cui otteniamo
$$\psi_k = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{1k} a_1^3}} u^{-c_1} F(-c_1+c_2,-c_1-c_2; 1-2c_1; -u)$$
Abbiamo scelto la normalizzazione per rispettare la forma asintotica di $\psi_k$ per $t \to -\infty$, poiché $F(a,b;c;-u) \sim 1$ per $u\sim 0$ (ovvero per $t\to -\infty$). Per ottenere $\alpha_k$ e $\beta_k$ usiamo l’identità
$$F(-c_1+c_2,-c_1-c_2; 1-2c_1; -u) = A u^{c_1-c_2} F(-c_1+c_2,c_1+c_2; 1+2c_1; -u^{-1}) +\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+B u^{c_1+c_2} F(-c_1-c_2,c_1-c_2; 1-2c_1; -u^{-1})$$
dove
$$A =\frac{\Gamma(1-2c_1)\Gamma(-2c_2)}{\Gamma(-c_1-c_2)\Gamma(1-c_1-c_2)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B = \frac{\Gamma(1-2c_1)\Gamma(2c_2)}{\Gamma(-c_1+c_2)\Gamma(1-c_1+c_2)}$$
Poiché di nuovo $F(a,b;c;-u^{-1}) \sim 1$ per $u$ grande abbiamo asintoticamente
$$\psi_k = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{1k} a_1^3}}(A e^{-ika_2^2\tau} + B e^{ika_2^2\tau})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t\to +\infty$$
Segue che
$$\alpha_k = \frac{a_2}{a_1}A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta_k = \frac{a_2}{a_1}B$$
Per cui $\beta_k \neq 0$ e quindi il campo gravitazionale ha creato delle particelle. Possiamo quindi determinare $|\beta_k|^2$. Poiché dall’articolo precedente sappiamo che $|\alpha_k|^2-|\beta_k|^2=1$, possiamo scrivere
$$|\beta_k|^2 = \frac{|\beta_k/\alpha_k|^2}{1-|\beta_k/\alpha_k|^2}$$
e quindi usando la proprietà $\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\bar{z})$ abbiamo $|\Gamma(z)|^2 = \Gamma(z)\Gamma(\bar{z})$ per cui dato che $c_1$ e $c_2$ sono immaginari otteniamo
$$\begin{align*}
\abs{\frac{\beta_k}{\alpha_k}}^2 &=\abs{\frac{\Gamma(2c_2)\Gamma(-c_1-c_2)\Gamma(1-c_1-c_2)}{\Gamma(-2c_2)\Gamma(-c_1+c_2)\Gamma(1-c_1+c_2)}}^2=\\
&=\frac{\Gamma(-c_1-c_2)\Gamma(1+c_1+c_2)\Gamma(1-c_1-c_2)\Gamma(c_1+c_2)}{\Gamma(-c_1+c_2)\Gamma(1+c_1-c_2)\Gamma(c_1-c_2)\Gamma(1-c_1+c_2)}=\\
& =\frac{\sin^2{(\pi (c_1-c_2))}}{\sin^2{(\pi (c_1+c_2))}}=\\
& =\frac{\sinh^2{(\pi k (a_1^2-a_2^2))}}{\sinh^2{(\pi k (a_1^2+a_2^2))}}\\
\end{align*}$$
dove abbiamo usato la proprietà $\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi/\sin{(\pi z)}$ e $\sin(iz)=i \sinh(z)$. Se $a_{\mathrm{min}}$ è il minore di $a_1, a_2$ allora per $k$ grande (cioè per energie sufficientemente alte) abbiamo
$$\abs{\frac{\beta_k}{\alpha_k}}^2 = \pqty{\frac{e^{\pi k (a_1^2-a_2^2)}-e^{-\pi k (a_1^2-a_2^2)}}{e^{\pi k (a_1^2+a_2^2)}-e^{-\pi k (a_1^2+a_2^2)}}}^2\approx e^{-4\pi k a_{\mathrm{min}}^2}$$
Pertanto
$$|\beta_k|^2 \approx \frac{1}{e^{4\pi k a_{\mathrm{min}}^2}-1}$$
che ha la stessa forma di una distribuzione di Bose-Einstein. In particolare alla fine dell’universo l’energia di una particella è $\omega_{2k} = k/a_2$ per cui la temperatura misurata da un osservatore sarà
$$T = \frac{1}{4\pi a_{\mathrm{min}}^2 a_2}$$
Vale la pena notare che le particelle sono create a coppie di impulso opposto. Infatti se $\ket{n_{\mathbf k_1} m_{\mathbf k_2}}$ è uno stato in cui per l’osservatore finale ci sono $n$ particelle di impulso $\mathbf k_1$ e $m$ particelle di impulso $\mathbf k_2$, allora possiamo scrivere
$$\ket{n_{\mathbf k_1} m_{\mathbf k_2}} =(B^\dagger_{\mathbf k_1})^n (B^\dagger_{\mathbf k_2})^m\ket{0_{+\infty}}$$
dove $\ket{0_{+\infty}}$ è lo stato di vuoto per l’osservatore finale e $B^\dagger$ l’operatore di creazione per l’osservatore finale. Poiché però l’universo è nello stato di vuoto iniziale $\ket{0_{-\infty}}$ (infatti per ipotesi c’è il vuoto all’inizio dell’universo e non succede nulla) allora l’ampiezza di probabilità di osservare $n=1$ particelle di impulso $\mathbf k_1$ e $m=1$ particelle di impulso $\mathbf k_2$ è dato da
$$\braket{1_{\mathbf k_1} 1_{\mathbf k_2}}{0_{-\infty}}=\bra{0_{+\infty}}B_{\mathbf k_1} B_{\mathbf k_2}\ket{0_{-\infty}}$$
Tuttavia sappiamo che $B_{\mathbf k} = \alpha_k A_{\mathbf k} +\beta^*_k A^{\dagger}_{-\mathbf k}$ dove gli $A$ sono gli operatori di creazione e distruzione rispetto al vuoto iniziale $\ket{0_{-\infty}}$. Pertanto l’ampiezza di probabilità è
$$\begin{align*}
\bra{0_{+\infty}}B_{\mathbf k_1} B_{\mathbf k_2}\ket{0_{-\infty}}&=\bra{0_{+\infty}}(\alpha_{k_1} A_{\mathbf k_1} +\beta^*_{k_1} A^{\dagger}_{-\mathbf k_1})(\alpha_{k_2} A_{\mathbf k_2} +\beta^*_{k_2} A^{\dagger}_{-\mathbf k_2})\ket{0_{-\infty}}\\
&=\alpha_{k_1} \beta^*_{k_2} \bra{0_{+\infty}}A_{\mathbf k_1}A^{\dagger}_{-\mathbf k_2}\ket{0_{-\infty}}+\beta^*_{k_2}\beta^*_{k_1} \bra{0_{+\infty}} A^{\dagger}_{-\mathbf k_1} A^{\dagger}_{-\mathbf k_2}\ket{0_{-\infty}}=\\
&=\alpha_{k_1} \beta^*_{k_2}\delta(\mathbf k_1 + \mathbf k_2) \braket{0_{+\infty}}{0_{-\infty}}+\beta^*_{k_2}\beta^*_{k_1}\frac{1}{\alpha^*_{k_1}\alpha^*_{k_2}} \bra{0_{+\infty}} (B^\dagger_{-\mathbf k_1} -\beta_{k_1} A_{\mathbf k_1}) (B^\dagger_{-\mathbf k_2} -\beta_{k_2} A_{\mathbf k_2})\ket{0_{-\infty}}=\\
&=\alpha_{k_1} \beta^*_{k_2}\delta(\mathbf k_1 + \mathbf k_2) \braket{0_{+\infty}}{0_{-\infty}}-|\beta_{k_1}|^2\beta^*_{k_2} \frac{1}{\alpha^*_{k_1}\alpha^*_{k_2}} \bra{0_{+\infty}} A_{\mathbf k_1} B^\dagger_{-\mathbf k_2}\ket{0_{-\infty}}=\\
&=\alpha_{k_1} \beta^*_{k_2}\delta(\mathbf k_1 + \mathbf k_2) \braket{0_{+\infty}}{0_{-\infty}}-|\beta_{k_1}|^2\beta^*_{k_2} \frac{1}{\alpha^*_{k_1}} \delta(\mathbf k_1+\mathbf k_2)\braket{0_{+\infty}}{0_{-\infty}}=\\
&=\frac{\beta^*_{k_2}}{\alpha_{k_1}^*} \delta(\mathbf k_1+\mathbf k_2)\braket{0_{+\infty}}{0_{-\infty}}\\
\end{align*}$$
dove abbiamo usato $\alpha^*_k A^\dagger_{-\mathbf k}= B^\dagger_{-\mathbf k} -\beta_k A_{\mathbf k}$ (ottenuta prendendo la $\dagger$ della relazione tra $A$ e $B$ e mandando $\mathbf k \to -\mathbf k$) e $[A_{\mathbf k_1}, B^\dagger_{-\mathbf k_2}] = \alpha^*_{k_2}\delta(\mathbf k_1+\mathbf k_2)$ (ottenuta dalla precedente). Pertanto la probabilità è nulla a meno che $\mathbf k_2 = -\mathbf k_1$. In modo simile possiamo calcolare che la probabilità di $\ket{n_{\mathbf k} m_{-\mathbf k}}$ è nulla a meno che $n=m$.
Pertanto le particelle sono create a coppie di impulso opposto. L’immagine da tenere a mente è quella di una coppia di particelle-antiparticelle eccitata dal vuoto, come accadrebbe anche in assenza della gravitazione, e poi separata dal campo gravitazionale.