La teoria quantistica dei campi prevede che un campo gravitazionale è in grado di creare particelle. Il caso più famoso è la radiazione di Hawking, che vedremo nei prossimi articoli; qui proponiamo un esempio più semplice, preso da Parker & Toms, Quantum field theory in curved spacetime, Capitolo 2.
Consideriamo la metrica di un’universo in espansione:
$$ds^2 = dt^2 -a(t)^2 (dx^2+dy^2 +dz^2)$$
Non supporremo particolari proprietà del fattore di scala $a(t)$, se non le sue proprietà asintotiche
$$a(t) \sim \begin{cases} a_1 & t \to -\infty\\a_2 & t \to +\infty\end{cases}$$
Consideriamo quindi l’azione di un campo scalare reale a massa nulla, che in uno spazio curvo è
$$\begin{align*}
S[\phi] &= \int \, d^4 x \,\sqrt{-g}\, g^{ab} \partial_a \phi \partial_b \phi =\\
&=\int d^4 x \bqty{a^3 (\partial_t \phi)^2 -a(\partial_x \phi)^2-a(\partial_y \phi)^2-a(\partial_z \phi)^2}
\end{align*}$$
Le equazioni di Eulero-Lagrange danno quindi l’equazione del moto del campo,
$$\partial_t (a^3 \partial_t \phi) -a\nabla^2 \phi=0$$
dove $\nabla =\partial^2_x +\partial^2_y +\partial^2_z $ è il Laplaciano in tre dimensioni. Non siamo in grado di risolvere esattamente l’equazione del moto, però possiamo trovarne la forma asintotica. Nel limite $t \to -\infty$, $a(t) \to a_1$ e l’equazione diventa
$$a_1^3\partial^2_t \phi -a_1\nabla^2 \phi=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, t\to -\infty$$
Questa è semplicemente la solita equazione di Klein-Gordon, la cui soluzione può essere espansa in una base di onde piane della forma:
$$\frac{1}{\sqrt{2\omega_{k’}V’}}\exp{\bqty{i (\mathbf k’ \cdot \mathbf x’ -\omega_{k’} t)}}$$
dove abbiamo semplicemente riscalato alcune variabili per far apparire la somiglianza con il caso di Minkowski, ad esempio $V’ = a_1^3 V$, $\mathbf x’ = a_1\mathbf x$ e $\mathbf k’ = \mathbf k/a_1$ (l’impulso scala in modo opposto alla posizione). La relazione di dispersione è quella del campo scalare a massa nulla, $\omega_{k’} = |\mathbf k’|$. Alla stessa maniera possiamo ricavare la forma asintotica per $t \to +\infty$. Possiamo quindi riportare il tutto nelle variabili originarie, e scrivendo direttamente l’espansione per l’operatore $\hat \phi$ abbiamo
$$\hat \phi(x) = \begin{cases}\sum_{\mathbf k} \pqty{A_{\mathbf k} f_{\mathbf k}(x) + A^\dagger_{\mathbf k} f^*_{\mathbf k}(x)} & t \to -\infty\\ \sum_{\mathbf k} \pqty{B_{\mathbf k} g_{\mathbf k}(x) + B^\dagger_{\mathbf k} g^*_{\mathbf k}(x)} & t \to +\infty\end{cases}$$
Per semplicità la sommatoria sta a indicare un’integrale. Le onde piane sono
$$f_{\mathbf k}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \omega_{1k} a_1^3 V}}\exp{\bqty{i (\mathbf k \cdot \mathbf x -\omega_{1k} t)}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g_{\mathbf k}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \omega_{2k} a_2^3 V}}\exp{\bqty{i (\mathbf k \cdot \mathbf x -\omega_{2k} t)}}$$
Abbiamo posto $\omega_{1k} = k/a_1$ e $\omega_{2k} = k/a_2$. Con la normalizzazione scelta per le onde piane gli operatori di creazione e distruzione soddisfano le stesse relazioni che soddisfano nello spaziotempo di Minkowski:
$$[A_{\mathbf k}^\dagger,A_{\mathbf k’}^\dagger]=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[A_{\mathbf k},A_{\mathbf k’}]=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[A_{\mathbf k},A_{\mathbf k’}^\dagger]=\delta(\mathbf k-\mathbf k’)\\
[B_{\mathbf k}^\dagger,B_{\mathbf k’}^\dagger]=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[B_{\mathbf k},B_{\mathbf k’}]=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[B_{\mathbf k},B_{\mathbf k’}^\dagger]=\delta(\mathbf k-\mathbf k’)$$
Gli operatori $A$ e $B$ sono in linea di principio diversi. Pertanto un’osservatore all’inizio dell’universo $(t \to -\infty)$ riterrà che il vuoto sia lo stato $\ket{0_{-\infty}}$ annichilito da tutti gli $A_{\mathbf k}$, cioè $A_{\mathbf k}\ket{0_{-\infty}}=0$. Al contrario un’operatore alla fine dell’universo riterrà che il vuoto sia lo stato $\ket{0_{+\infty}}$ annichilito da tutti gli $B_{\mathbf k}$, cioè $B_{\mathbf k}\ket{0_{+\infty}}=0$. Quindi in linea di principio
$$\ket{0_{-\infty}}\neq \ket{0_{+\infty}}$$
I due osservatori non sono d’accordo su cosa sia il vuoto. Per cui se all’inizio dell’universo c’è il vuoto, anche se non succedesse nulla, cioè senza interazioni, lo stesso osservatore alla fine dell’universo, osservando lo stesso stato, concluderebbe che non è il vuoto (cioè contiene delle particelle). Nel seguito alcuni dettagli quantitativi.
Siamo in grado di trovare una relazione tra gli operatori $A$ e gli $B$. Per rimuovere il fattore fastidioso $a^3$ dentro l’equazione del moto, definiamo una nuova variabile $\tau$ tale che $\partial_\tau = a^3 \partial_t$, cioè $\dv{t}{\tau}=a^3$. L’equazione diventa
$$\partial_\tau^2 \phi -a^4\nabla^2 \phi=0$$
Supponiamo che le onde piane in un tempo qualsiasi (quindi non solamente nel limite) prendano la forma
$$h_{\mathbf k}(x) = \frac{1}{\sqrt{V}}e^{i\mathbf k \cdot \mathbf x} \psi_k(\tau)$$
Questa è compatibile sia con le $f$ che con le $g$ (è il loro “comun denominatore”), e la $\psi_k$ è una qualche funzione. Sostituendo otteniamo:
$$\dv{^2 \psi_k}{\tau^2} +k^2 a^4 \psi_k =0$$
Sappiamo (o meglio, supponiamo) che all’inizio $h_{\mathbf k} \to f_{\mathbf k}$, per cui
$$\psi_k (\tau) = \frac{1}{\sqrt{2 k a_1^2}} \exp{\pqty{-ik a_1^2 \tau}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, t\to -\infty$$
dove abbiamo usato $t = a_1^3 \tau$ per $t\to -\infty$ (e la costante è irrilevante nel limite). Nel caso generale per $t\to +\infty$, $\psi_k$ avrà due possibili soluzioni, ad energia positiva e negativa. Per cui in genere sarà una combinazione lineare delle due:
$$\psi_k (\tau)= \frac{1}{\sqrt{2 k a_2^2}}\pqty{\alpha_k e^{-ik a_2^2 \tau}+\beta_k e^{ik a_2^2 \tau}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, t\to +\infty$$
Avremmo anche potuto fare la scelta opposta: fissare la soluzione a $+\infty$, ottenendo per $-\infty$ una combinazione lineare. Ad ogni modo il punto è che, come vedremo subito, $\psi_k$ può contenere entrambi i termini nel limite a $+\infty$. Infatti poiché gli $h_{\mathbf k} \to f_{\mathbf k}$ per $t\to -\infty$ e gli $A_\mathbf{k}$ sono indipendenti dal tempo, essi compaiono anche nell’espansione del campo in termini degli $h$, che è valida per ogni tempo.
Pertanto nel limite $t \to +\infty$
$$\begin{align*}
\hat\phi(x) &= \sum_{\mathbf k} \pqty{A_{\mathbf k} h_{\mathbf k}(x) + A^\dagger_{\mathbf k} h^*_{\mathbf k}}=\\
&= \sum_{\mathbf k} \pqty{A_{\mathbf k} \frac{e^{i \mathbf k \cdot \mathbf x}}{\sqrt{V}}\psi_k(\tau) + A^{\dagger}_{\mathbf k} \frac{e^{-i \mathbf k \cdot \mathbf x}}{\sqrt{V}}\psi^*_k(\tau)}=\\
&= \sum_{\mathbf k} \pqty{A_{\mathbf k} \frac{e^{i \mathbf k \cdot \mathbf x}}{\sqrt{V}}\frac{1}{\sqrt{2 k a_2^2}}\pqty{\alpha_k e^{-ik a_2^2 \tau}+\beta_k e^{ik a_2^2 \tau}} + A^{\dagger}_{\mathbf k} \frac{e^{-i \mathbf k \cdot \mathbf x}}{\sqrt{V}}\frac{1}{\sqrt{2 k a_2^2}}\pqty{\alpha^*_k e^{ik a_2^2 \tau}+\beta^*_k e^{-ik a_2^2 \tau}}}=\\
&= \sum_{\mathbf k} \pqty{A_{\mathbf k} \pqty{\alpha_k g_{\mathbf k}+\beta_k g^*_{-\mathbf k}} + A^{\dagger}_{\mathbf k} \pqty{\alpha^*_k g_{\mathbf k}^*+\beta^*_k g_{-\mathbf k}}}=\\
&= \sum_{\mathbf k} \pqty{B_{\mathbf k} g_{\mathbf k}+B^\dagger_{\mathbf k} g^*_{\mathbf k}}
\end{align*}$$
dove abbiamo usato $t = a_2 \tau^3$ per $t\to +\infty$ e il fatto che gli $\alpha$, $\beta$ dipendono solo da $k=|\mathbf k|$. Abbiamo trovato la relazione:
$$B_{\mathbf k} = \alpha_k A_{\mathbf k} +\beta^*_k A^{\dagger}_{-\mathbf k}$$
L’essenza del calcolo appena effettuato è che sebbene gli $h$ separino correttamente le soluzioni ad energia positiva e negativa all’inizio dell’universo, cioè $h_{\mathbf k}\sim e^{-i\omega_{1k}t}$ è a energia positiva e $h_{\mathbf k}^*$ è a energia negativa, ciò non è più vero alla fine dell’universo, dove sono invece le $g$ a separare correttamente energia positiva e negativa.
Perché la relazione tra $A$ e $B$ appena trovata rispetti le relazioni di commutazione, deve valere $|\alpha_k|^2-|\beta_k|^2=1$. Ciò si può dimostrare a partire dal Wronskiano $W=\psi_k^* \partial_\tau \psi_k -\psi_k \partial_\tau \psi^*_k$ di $\psi_k^*$ e $\psi_k$. Utilizzando l’equazione per $\psi_k$ è facile dimostrare che è indipendente dal tempo, $\dv{W}{\tau}=0$. Possiamo quindi valutarlo per $t \to -\infty$ e per $t \to +\infty$, ottenendo ciò che cerchiamo.
Quindi se all’inizio dell’universo c’è il vuoto, $\ket{0_{-\infty}}$, e non succede nulla, per cui lo stato resta $\ket{0_{-\infty}}$, lo stesso osservatore alla fine dell’universo trova
$$\bra{0_{-\infty}}B^\dagger_{\mathbf k}B_{\mathbf k}\ket{0_{-\infty}}=|\beta_k|^2 \neq 0$$
Chiaramente può anche essere nullo, il punto è che in generale non lo è. Conoscendo $a(t)$ possiamo calcolare $\beta_k$ esattamente, e lo faremo nel prossimo articolo.