Abbiamo visto nell’articolo precedente che le rappresentazioni proiettive di un gruppo possono essere sempre sollevate a rappresentazioni unitarie di una sua estensione. In questo articolo ricaviamo le conseguenze di questo importante fatto.
Innanzitutto, data un’estensione centrale di un gruppo di Lie$\require{AMScd}$
\begin{CD}
1 @>>> A @>i>> E @>j>> G @>>> 1
\end{CD}
Se le mappe $i$ e $j$ sono derivabili allora otteniamo anche un’estensione centrale delle algebre di Lie corrispondenti
\begin{CD}
1 @>>> \frak a @>di>> \frak e @>dj>> \frak g @>>> 1
\end{CD}
Nel nostro problema avevamo $A = \Omega$, il gruppo delle fasi proiettive. Sappiamo inoltre che $\Omega = U(1)$ oppure $\Omega = \mathbb{Z}_n$, per cui abbiamo due casi:
- $\Omega = U(1)$. In tal caso la mappa $\Omega \to E$ è un omomorfismo continuo tra gruppi di Lie, per cui è automaticamente derivabile. Ne segue che in tal caso abbiamo anche un’estensione centrale dell’algebra $\frak g$ tramite l’algebra di Lie di $U(1)$, cioè $\mathbb R$.
- L’estensione centrale del gruppo è tramite $\mathbb{Z}_n$, un gruppo discreto; in tal caso la mappa non può essere derivabile. In particolare abbiamo il teorema seguente:
Teorema. Dato un gruppo di Lie $G$ connesso esiste ed è unico il gruppo di Lie $\widetilde G$ semplicemente connesso tale che
\begin{CD}
1 @>>> \pi(G) @>>> \widetilde G @>>> G @>>> 1
\end{CD}
è un’estensione centrale, dove $\pi(G)$ è il gruppo fondamentale di $G$, che è discreto. Il gruppo $\widetilde G$ è detto rivestimento universale di $G$.
In particolare le algebre di Lie di $G$ e $\widetilde G$ sono le stesse. Ciò significa che le estensioni centrali tramite gruppi discreti sono equivalenti a un rivestimento. In questo caso il rivestimento universale $\widetilde G$ è il “più grande” gruppo a cui $G$ può essere esteso, per cui ogni altro rivestimento è dato da un quoziente di $\widetilde G$ per un qualche gruppo discreto. Ciò significa che estendendo a $\widetilde G$ possiamo rimuovere tutte le rappresentazioni proiettive in un colpo solo.
Inoltre, in alcuni casi di notevole importanza, l’algebra di Lie ammette solo estensioni banali, per cui le uniche estensioni possibili del gruppo sono quelle discrete. In particolare, come dimostrato in ques’articolo:
Proposizione. Un’algebra di Lie semisemplice ammette solo estensioni centrali banali.
Pertanto abbiamo in totale tre possibilità:
- Tutte le estensioni centrali di $G$ e $\frak g$ sono banali: in tal caso tutte le rappresentazioni proiettive di $G$ possono già essere sollevate a rappresentazioni unitarie e non dobbiamo fare nulla;
- $G$ ammette estensioni centrali non banali, ma $\frak g$ no; questo è possibile solo se $\Omega = \mathbb{Z}_n$. Come spiegato sopra, in tal caso possiamo estendere il gruppo al suo rivestimento universale e dimenticarci delle rappresentazioni proiettive;
- Sia $G$ sia $\frak g$ ammettono estensioni centrali non banali. In questo caso passiamo comunque al rivestimento universale di $G$ per rimuovere le estensioni discrete, in modo che le estensioni di $G$ e $\frak g$ siano in corrispondenza. In questo caso non c’è nessun modo per eliminare tutte le rappresentazioni proiettive. Tuttavia data una specifica rappresentazione proiettiva, possiamo trattarla come una rappresentazione unitaria della corrispondente estensione centrale dell’algebra di Lie. Questa è un’estensione tramite $\mathbb{R}$, che ha un solo generatore e in questo caso è detto “carica centrale”; questa commuta con tutti gli altri generatori (perché è centrale), però può apparire nelle loro relazioni di commutazione. In questo caso diverse rappresentazioni proiettive richiedono diverse estensioni.
Il primo caso è quello che accade con un gruppo semplicemente connesso la cui algebra di Lie è semisemplice, come ad esempio $\SU(2)$.
Il secondo caso è quello che avviene nel caso dello spin, il cui gruppo di simmetria è $\SO(3)$ (non semplicemente connesso) la cui algebra di Lie è però semisemplice; in questo caso prendiamo il suo rivestimento universale, che è $\SU(2)$. Alla stessa maniera in teoria dei campi il gruppo di Lorentz ristretto $\SO(3,1)^+$ non è semplicemente connesso, ma la sua algebra di Lie è semisemplice. In tal caso prendiamo di nuovo il rivestimento universale, che è $\SL(2,\mathbb{C})$. Notiamo che ciò accade automaticamente lavorando con l’algebra di Lie: questo perché le rappresentazioni dell’algebra sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni del rivestimento universale.
Il terzo caso è quello del gruppo di Galilei, cioè il gruppo di simmetria della meccanica classica che include rotazioni, spinte galileiane e traslazioni; è anche il gruppo di simmetria completo della meccanica quantistica non relativistica. In questo caso l’algebra di Lie del gruppo non è semisemplice, e in una rappresentazione specifica può essere estesa all’algebra di Bargmann che include una cosiddetta “carica centrale” (la massa). Tuttavia questo calcolo è molto difficile.