È notoriamente difficile definire un’energia in relatività generale. Nel caso in cui lo spaziotempo sia asintoticamente piatto esistono alcune definizioni possibili. La più importante è l’energia ADM, che è definita su un’ipersuperficie spaziale $\Sigma$ tramite l’integrale:
$$E = \frac{1}{16\pi}\int_S d^2 S^i \left(\partial_j h_{ij}-\partial_i h_{jj} \right)$$
dove $S\subset \Sigma$ è una superficie all’infinito che racchiude $\Sigma$ e $h$ è la metrica su $\Sigma$. In termini più precisi, si può definire l’integrale per $E$ come il limite per $r \to \infty$ dell’integrale su una successione di superfici $S_r$ sempre più grandi.
L’energia $E$ è conservata, e ciò assicura anche che non dipende dall’ipersuperficie scelta. Infatti poiché niente può viaggiare più veloce della luce, nessun processo può modificare il comportamento asintotico del campo gravitazionale all’infinito spaziale.
Una volta definita un’energia, è tipico verificare che l’espressione abbia un limite inferiore: se non l’avesse, infatti, il sistema potrebbe diminuire la propria energia all’infinito passando da uno stato all’altro, senza fine: si dice che lo spaziotempo è instabile. Vogliamo quindi dimostrare che l’energia $E$ ha un limite inferiore, che in questo caso è $0$. Possiamo enunciare il seguente risultato:
Teorema (positività dell’energia) Per dati iniziali $(\Sigma, h_{ab})$ geodeticamente completi e asintoticamente piatti, se il tensore energia-impulso rispetta la condizione dominante dell’energia, allora $E\geq 0$ ed è zero se e solo se lo spaziotempo è di Minkowski.
La condizione dominante dell’energia afferma che $T_{00}>0$ dappertutto e in ogni sistema di riferimento. Altrimenti in linguaggio più moderno, la condizione dominante dell’energia afferma che:
- La densità di energia $\rho = T_{ab}X^a X^b \geq 0$ per ogni vettore $X$ tipo-tempo futuro-diretto (condizione debole dell’energia)
- Inoltre $-T^a_b Y^b$ è causale e futuro-diretto per ogni $Y$ causale e futuro-diretto.
Il requisito che i dati iniziali siano asintoticamente piatti è necessario per assicurare che l’integrale per $E$ converga. Asintoticamente piatto significa quindi richiedere che all’infinito la metrica sull’ipersuperficie spaziale soddisfi:
\begin{align*}
h_ij &= \delta_{ij} + \mathcal{O}(\frac{1}{r})\\
\partial_k h_{ij} &= \mathcal{O}(\frac{1}{r^2})
\end{align*}
L’altro requisito richiesto è che i dati iniziali siano geodeticamente completi. Ciò significa in altri termini che non ci sono singolarità. Possiamo esaminare ad esempio lo spaziotempo di Schwarzschild. Come abbiamo visto in un articolo precedente, la sua energia è $E = M$. Nella derivazione dello spaziotempo, da nessuna parte è richiesto che $M>0$, e infatti anche il caso $M <0$ è una soluzione perfettamente valida. Inoltre, Schwarzschild è una soluzione di vuoto, quindi $T_{\mu\nu}=0$ e pertanto soddisfa la condizione dominante dell’energia.
Il motivo per cui Schwarzschild con massa negativa non soddisfa la condizione di completezza geodetica è che tutte le ipersuperfici tipo spazio (cioè essenzialmente le superfici $t=\mathrm{costante}$) contengono la singolarità in $r=0$, e quindi sono geodeticamente incomplete. Nello spaziotempo di Schwarzschild con massa positiva invece abbiamo delle ipersuperfici tipo spazio che non contengono la singolarità, ad esempio $t = \mathrm{costante}$, $r > r_0$ con $r_0 < 2M$. L’ipersuperficie è tipo spazio perché all’interno dell’orizzonte degli eventi la coordinata $r$ diventa tipo tempo, mentre ciò non è vero nel caso $M<0$. (Potremmo preoccuparci del fatto che l’ipersuperficie in questo caso abbia coordinate singolari in $r=2M$, ma ciò non è in realtà un problema: possiamo infatti rimuovere questa singolarità cambiando le coordinate nello spaziotempo originale, e definire la superficie alla stessa maniera; d’altronde il sistema di coordinate non influenza il fatto che $dr$ sia tipo tempo)
Se quindi rilassiamo la condizione della completezza geodetica il teorema non è più valido, e possiamo trovare spaziotempi con energie arbitrariamente negative. Nei prossimi articoli proponiamo una dimostrazione del teorema, dovuta a Witten.