Il teorema di Earnshaw e il teorema di Wing sono due teoremi in elettromagnetismo che stabiliscono delle condizioni di impossibilità in certe situazioni.
Teorema di Earnshaw
Il teorema di Earnshaw afferma che
Un corpo carico in un campo elettrico non può trovarsi in equilibrio stabile sotto l’influenza del solo campo elettrico.
Infatti in assenza di cariche o campi magnetici, le equazioni di Maxwell danno
$$\nabla \cdot \mathbf E =0\\
\nabla \times \mathbf E =0$$
La seconda equazione può essere risolta in genere ponendo $\mathbf E = -\nabla \phi$, dove $\phi$ è il potenziale. Allora inserendo nella prima equazione abbiamo $\nabla^2 \phi =0$, cioè il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace. Come abbiamo visto in un precedente articolo, una funzione che soddisfa l’equazione di Laplace non ammette massimi o minimi, pertanto $\phi$, che è proporzionale all’energia potenziale, può avere solo punti di sella. Ma un punto di equilibrio stabile è un minimo dell’energia potenziale, pertanto non è possibile avere punti di equilibrio stabile.
Il teorema di Earnshow viene spesso formulato come: “un insieme di ferromagneti fissi non può produrre equilibri stabili“. Abbiamo provato tutti a far levitare oggetti con dei magnetini, fallendo a causa del teorema di Earnshow. Il teorema non si applica a oggetti in moto oppure a oggetti diamagnetici, come ad esempio i superconduttori.
La dimostrazione di questa formulazione procede nel modo seguente. L’energia di un dipolo magnetico è $U=-\mathbf M \cdot \mathbf B$. La magnetizzazione $M$ può essere una costante, oppure nel caso di un ferromagnete $\mathbf M = k \hat{\mathbf{B}}$. Poiché il campo magnetico soddisfa l’equazione di Laplace (vedi la dimostrazione del teorema di Wing sotto), allora anche $U$ la soddisfa e il risultato si applica come nel caso precedente.
Teorema di Wing
Un simile risultato è il teorema di Wing, che ha applicazioni in fisica atomica, dove è spesso utile intrappolare un gas di particelle utilizzando dei campi magnetici. Il teorema di Wing è un risultato negativo sulla possibilità di realizzare certi tipi di trappole:
in assenza di cariche il modulo del campo magnetico non può avere massimi locali
La dimostrazione parte dalle equazioni di Maxwell, che nel vuoto sono
$$\nabla \cdot \mathbf B =0\\
\nabla \times \mathbf B =0$$
Utilizzando un’identità del calcolo vettoriale abbiamo quindi
$$0=\nabla \times \nabla \times \mathbf B =\nabla^2 \mathbf B -\nabla (\nabla \cdot \mathbf B)= \nabla^2 \mathbf B$$
ovvero il campo magnetico è una soluzione dell’equazione di Laplace. In particolare abbiamo visto in un precedente articolo che le soluzioni dell’equazione di Laplace non ammettono massimi o minimi locali. Traslando e/o ruotando le coordinate possiamo supporre che $\abs{\mathbf B}$ abbia un massimo locale in $\mathbf x = 0$, dove $\abs{\mathbf B(0)}=B_0$ e $\mathbf B = \mathbf B_0 \hat{\mathbf{z}}$. Possiamo quindi scrivere $\mathbf B = \mathbf B_0 \hat{\mathbf{z}} + \delta \mathbf B$. Abbiamo quindi
$$|\mathbf B|^2 = |\mathbf B_0|^2 + |\delta \mathbf B|^2 +2 B_0 \delta B_z$$
Poiché $|\delta \mathbf B|^2 \geq 0$ se vogliamo che $|\mathbf B|$ abbia un massimo, allora $B_0\delta B_z <0$. Inoltre, $B_0 \neq 0$ perché altrimenti il massimo di $|\mathbf B|$ sarebbe zero e quindi avremmo campo magnetico nullo dappertutto. Pertanto possiamo sempre ruotare le coordinate in modo che $B_0 >0$. Pertanto dobbiamo avere $\delta B_z <0$ in tutte le direzioni sufficientemente vicino a $0$. Ma ciò è impossibile: poiché il campo magnetico soddisfa l’equazione di Laplace, allora anche $\delta B_z$ soddisfa l’equazione di Laplace. Quindi per il principio della media, la media di $\delta B_z$ su una sfera di raggio $r$ sufficientemente piccolo centrata in $0$ è uguale al valore al centro, cioè $\delta B_z(0)=0$. Segue che non è possibile che $\delta B_z <0$ in tutte le direzioni, ma dovranno esserci delle direzioni in cui è positivo.
Al contrario dei massimi, i minimi sono permessi. Ad esempio $\mathbf B = (Ax,By,-Az-Bz)$ (“campo di quadrupolo”) ha un minimo in $0$ e soddisfa le equazioni di Maxwell.