La rappresentazione spin $1/2$ di $\SO(3)$ è il tipico esempio di rappresentazione spinoriale. Vediamo che succede.
Per studiare le rappresentazioni del gruppo, consideriamo l’algebra di Lie $\so(3)$. Quest’algebra ha per generatori:
$$F_1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F_3 = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
dati dalla linearizzazione delle matrici che danno le rotazioni nelle tre dimensioni.I generatori soddisfano le relazioni di commutazione $$[F_1, F_2] = F_3, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[F_2, F_3] = F_1, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[F_3, F_1] = F_2$$ L’algebra $\so(3)$ è isomorfa all’algebra $\su(2)$, data dai generatori:
$$F_1 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F_2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F_3 = \begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$
che soddisfano le stesserelazioni di commutazione $$[E_1, E_2] = E_3, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[E_2, E_3] = E_1, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[E_3, E_1] = E_2$$ L’isomorfismo $\phi: \su(2) \to \so(3)$ è dato da $\phi(E_i) = F_i$.
Questo isomorfismo è importante perché $\SU(2)$ è semplicemente connesso, a differenza di $\SO(3)$. Come abbiamo visto, per un gruppo semplicemente connesso le rappresentazioni dell’algebra e del gruppo sono in corrispondenza biunivoca, mentre ciò non è vero in genere: potrebbero esistere rappresentazioni dell’algebra che non sono rappresentazioni del gruppo. Questo è quello che succede con le rappresentazioni di spin semintero di $\so(3)$: è una rappresentazione dell’algebra $\so(3) \cong \su(2)$, ma il suo esponenziale è una rappresentazione di $\SU(2)$, non di $\SO(3)$.
Rappresentazioni di $\sl(2,\mathbb{C})$
Per studiare le rappresentazioni di un’algebra bisogna prima complessificarla. Abbiamo:
$$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}) = \mathfrak{su}(2)_\mathbb{C}$$
Per cui tra le rappresentazioni dell’algebra complessa $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ troviamo anche quelle dell’algebra reale $\mathfrak{su}(2)$.
Sia $z=(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2$ una coppia di variabili complesse e $f(z_1, z_2) = \sum_{k=0}^m a_k z_1^{m-k} z_2^k$ un polinomio omogeneo con $m+1$ termini. Lo spazio dei polinomi omogenei complessi in due variabili complesse è uno spazio vettoriale di dimensione $m+1$. Possiamo definire una rappresentazione di $\SU(2)$ su questo spazio: data $U \in \SU(2)$ la rappresentazione $m$-dimensionale $\Pi_m$ agisce sul polinomio $f$ tramite
$$[\Pi_m(U)f](z) = f(U^{-1} z)$$
L’inversa è necessaria perché questa sia una rappresentazione. Infatti ponendo $g(z) = [\Pi_m(U)f](z)=f(U^{-1}z)$ abbiamo
\begin{align*}
[\Pi_m(V)\Pi_m(U)f](z) &=[\Pi_m(V)g](z) = g(V^{-1}z) =\\
&=f(U^{-1}V^{-1}z) = f((VU)^{-1}z) = [\Pi_m(VU)f](z)
\end{align*}
Si può dimostrare che queste sono tutte e sole le rappresentazioni irriducibili di $\SU(2)$. La corrispondente rappresentazione $\pi_m$ di $\su(2)$ è data per derivazione. Se $U= e^{tX}$ allora:
\begin{align*}
(\pi_m(X) f)(z) &= \dv{}{t} \bqty{\Pi_m \pqty{e^{tX}} f}(z)\bigg\lvert_{t=0}=\dv{}{t} f \pqty{e^{-tX}z}\bigg\lvert_{t=0} =\\
&=-\pdv{f}{z_1}(X_{11} z_1 + X_{12}z_2)-\pdv{f}{z_2}(X_{21} z_1 + X_{22}z_2)
\end{align*}
che è una trasformazione del polinomio omogeneo $f$ in un altro polinomio omogeneo.
Rappresentazioni di $\SO(3)$ e di $\SU(2)$
Tutte le rappresentazioni di $\SU(2)$ vengono da una rappresentazione di $\su(2)\cong\so(3)$, ma quali di queste sono anche rappresentazioni di $\SO(3)$? Se le $\pi_m$ sono le rappresentazioni irriducibili di $\mathfrak{su}(2)$, allora usando l’isomorfismo $\phi$ le rappresentazioni irriducibili di $\mathfrak{so}(3)$ sono $\sigma_m \equiv \pi_m \circ \phi^{-1}$. Abbiamo il seguente risultato (preso da Hall, Lie Groups and Lie Algebras):
Teorema. Sia $\sigma_m = \pi_m \circ \phi^{-1}$ una rappresentazione complessa irriducibile di $\so(3)$. Allora:
- se $m$ è pari allora esiste una rappresentazione $\Sigma_m$ di $\SO(3)$ tale che $\Sigma_m(e^X) = e^{\sigma_m(X)}$
- se $m$ è dispari non esiste nessuna rappresentazione di questo genere
In fisica poniamo di solito $m=2j$ cosicché le rappresentazioni a spin intero sono esponenziabili in $\SO(3)$, mentre quelle a spin semintero no.
Dimostrazione. Se $m$ è dispari allora supponiamo che esista una rappresentazione $\Sigma_m$ tale che $\Sigma_m(e^X) = e^{\sigma_m(X)}$. Calcolando l’esponenziale otteniamo
$$e^{2\pi F_1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{2\pi} & -\sin{2\pi} \\ 0 / \sin{2\pi} & \cos{2\pi} \end{pmatrix}=I$$
Al contempo $\sigma_m (F_1) = \pi_m (\phi^{-1}(F_1)) = \pi_m (E_1)$. Tuttavia $E_1 = (i/2) \sigma_3$ per cui sappiamo dalla costruzione esplicita della rappresentazione che esiste una base dello spazio di rappresentazione data dagli autovettori $\{u_k\}$ di $\pi_m(E_1)$, con autovalore $(i/2)(m-2k)$. Pertanto in questa base $\sigma_m(F_1)$ è diagonale con autovalori $(i/2)(m-2k)$. Quindi $e^{\sigma_m(2\pi F_1)}$ è diagonale con autovalori $e^{i\pi(m-2k)}$. Poiché $m$ è dispari, $m-2k$ è dispari e quindi $e^{i\pi(m-2k)}=-1$. Concludiamo che $e^{\sigma_m(2\pi F_1)} = -I$. Per cui $\Sigma_m (e^{2\pi F_1})=\Sigma_m(I)=I$, e al contempo $\Sigma_m(e^{2\pi F_1}) = e^{\sigma_m(2\pi F_1)}=-I$, per cui $\Sigma_m$ non esiste.
Se invece $m$ è pari, sia $\Phi: \SU(2) \to \SO(3)$ l’omomorfismo tra gruppi di Lie. Sappiamo che $\ker{\Phi} = \{\pm I\}$. Abbiamo:
$$\Pi_m(-I) = \Pi_m(e^{2\pi E_1}) = e^{\pi_m(2\pi E_1)} = I$$
poiché per lo stesso ragionamento del caso precedente $e^{\pi_m(2\pi E_1)}$ è diagonale con autovalori $+1$. Segue che $\Pi_m(-I)=I$ e quindi $\Pi_m(-U)=U$. Data $R\in \SO(3)$ poiché $\ker{\Phi} = \{\pm I\}$ allora per ogni $R \in \SO(3)$ allora $\{\pm U \}$ sono le uniche matrici tali che $\Phi(U) = \Phi(-U) = R$, per cui possiamo definire
$$\Sigma_m (R) =\Pi_m(U)$$
e questa è una rappresentazione ben definita. $\square$