Consideriamo $\mathbb{R}$ come gruppo additivo. Quali sono i suoi sottogruppi?
Proposizione. I sottogruppi non banali di $\mathbb{R}$ sono isomorfi a $\mathbb{Z}$ oppure densi in $\mathbb{R}$.
Dimostrazione. Sia $H$ un sottogruppo di $\mathbb{R}$. Se $H$ è non banale, allora contiene almeno un elemento non nullo, e uno tra questo elemento e la sua inversa è positivo, per cui contiene almeno un elemento positivo. Sia $H^+$ l’insieme degli elementi positivi di $H$. Questo è un insieme non nullo e limitato inferiormente da $0$, per cui ha un estremo inferiore. Chiamiamolo $m$.
L’estremo inferiore appartiene al gruppo: $m \in H^+$. Supponiamo al contrario che $m \not \in H$. Per ogni $\epsilon>0$ esiste un $g \in H$ tale che $m < g < m+\epsilon$. Alla stessa maniera esiste un $g’$ tale che $m < g’ < g < m+\epsilon$. Segue che $h=g-g’$ è un elemento di $H$ che soddisfa $0 < h < \epsilon$. Prendendo $\epsilon < m$ otteniamo una contraddizione, perché $m$ è l’estremo inferiore di $H^+$.
Ora abbiamo due casi:
Se $m\neq 0$ sappiamo che $m \in H^+$, per cui $m \in H$. Per cui $m\mathbb{Z} \subset H$. Per la conversa, dato $h \in H^+$ utilizziamo l’algoritmo euclideo per scrivere $h = m q + r$ dove $q \in \mathbb{N}$ e $0 \leq r < m$. Ma $m \in H$, per cui $h-mq \in H$ perché $H$ è un sottogruppo e inoltre $h-mq = r>0$ per cui $r \in H^+$. Ma $r< m$ ma ciò contraddice il fatto che $m$ è il minimo di $H^+$. Quindi $r=0$ e pertanto $h$ è un multiplo di $m$, cioè $h=mq$. Segue quindi che $H=m \mathbb{Z}$.
Se invece $m = 0$ allora presi due reali $x, y$ tali che $x < y$ prendiamo un $h \in H^+$ tale che $0 < h < y-x$ (ciò è possibile perché $m=0$). Possiamo scrivere $x = n h + r$ dove $n$ è intero e $0 \leq r < h$. Quindi abbiamo anche $x < nh+h \leq x + h < y$. Pertanto $g \equiv h (n+1)$ in $H$ poiché $h \in H$ e abbiamo $x < g < y$, per cui $H$ è denso in $\mathbb{R}$. $\square$
Utilizzando questa classificazione, possiamo ottenere una classificazione per i sottogruppi di $\U(1)$.
Proposizione. I sottogruppi di $\U(1)$ sono isomorfi a $\mathbb{Z}_n$ per qualche $n$ oppure densi in $\U(1)$.
Dimostrazione. Sia $f: \mathbb{R} \to \U(1)$ l’omomorfismo continuo tra gruppi dato da $f(x) = e^{2\pi i x}$. Sia $H$ un sottogruppo di $\U(1)$. Sia $f^{-1}(H)$ il corrispondente insieme di $\mathbb{R}$. Poiché $H$ è un sottogruppo di $\U(1)$ e $f(f^{-1}(H))=H$ dove $f$ è un omomorfismo, allora $f^{-1}(H)$ è un sottogruppo di $\mathbb{R}$, per cui è denso o ciclico. Se è denso, poiché $f$ è una funzione continua e suriettiva, allora anche $H=f(f^{-1}(H))$ è denso.
Se $f^{-1}(H)$ non è denso, allora è ciclico, cioè è generato da $m \in \mathbb{R}$, per cui $H$ è generato da $e^{2\pi i m}$. Se $m$ è razionale, $m=p/q$ allora $(e^{2\pi i m})^q=1$ e quindi $H$ è finito per cui $H \cong \mathbb{Z}_q$. Se invece $m$ è irrazionale, allora $\mathbb{Z} + m\mathbb{Z}$ è denso in $\mathbb{R}$. Poiché $\ker{f} = \mathbb{Z}$ allora
$$H = f(f^{-1}(H)) = f(m \mathbb{Z}) = f(\mathbb{Z} + m \mathbb{Z})$$
che è denso in $\U(1)$ perché immagine di un insieme denso tramite una funzione continua e suriettiva. $\square$