A differenza di quanto viene talvolta affermato, la relatività ristretta non ha nessun problema con l’accelerazione, a meno che ad accelerare non siano i sistemi di riferimento. Calcoliamo il moto di un corpo in accelerazione costante in relatività ristretta. Per semplicità poniamo $c=1$.
Se $u^\mu$ è la quadrivelocità del corpo, a riposo $u^\mu = (1, {\textbf 0})$ e quindi $u^\mu u_\mu = -1$. Quindi $\frac{d}{dt} (u^\mu u_\mu) = 0$. Per la regola della catena $2 u_\mu \frac{d u^\mu}{dt} = 0$, cioè $u_\mu a^\mu = 0$, dove $a^\mu$ è la quadriaccelerazione.
Nel sistema di riferimento in cui la particella è istantaneamente a riposo, $u^\mu = (1, {\textbf 0})$, quindi $a^\mu = (0, a_1, a_2, a_3)$. Supponiamo che l’accelerazione sia diretta nella direzione $x$, cioè poniamo $a_1 = a$ e $a_2 = a_3 = 0$.
Usando la matrice di Lorentz trasformiamo i due vettori in un sistema in cui la particella va istantaneamente ad una velocità $v$:
$$\tilde{u}^\mu = \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \tilde{a}^\mu = \begin{pmatrix} \gamma v a\\ \gamma a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Poiché $a^\mu$ e $u^\mu$ sono tensori, cioè trasformano nel modo corretto, allora anche nel nuovo sistema abbiamo
$$\tilde{a}^\mu = \begin{pmatrix} \gamma v a\\ \gamma a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{d \tilde{u}^\mu}{d\tau} = \frac{d}{d\tau} \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma^3 v \\ \gamma^3 v^2 +\gamma \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \frac{dv}{d\tau}= (\gamma)^3 \frac{dv}{d\tau} \begin{pmatrix} v \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Quindi otteniamo $\gamma a = \gamma^3 dv/d\tau$, cioè:
$$a = \frac{dv}{d\tau} \frac{1}{1-v^2}$$
Cambiando variabile da $\tau$ a $t$ abbiamo:
$$\frac{dv}{dt} = a (1-v^2)^{3/2}$$
Supponendo $v=0$ al tempo $t=0$ otteniamo integrando:
$$v = \frac{a t}{\sqrt{1+a^2 t^2}}$$
e supponendo ancora $x=0$ quando $t=0$ abbiamo:
$$\boxed{x = \frac{\sqrt{1+a^2 t^2}-1}{a}}$$
Per $t\to \infty$ come ci aspettiamo $x\to \infty$ ma $v\to 1$, cioè $v\to c$, ovvero la velocità aumenta sempre ma non raggiunge mai la velocità della luce.
Parametrizzazione col tempo proprio
A volte è utile un’altra parametrizzazione dello stesso risultato. Tornando a
$$a = \frac{dv}{d\tau} \frac{1}{1-v^2}$$
integriamo direttamente questa equazione e con la condizione $v(\tau=0)=0$ otteniamo $a\tau = \tanh^{-1}(v)$, ovvero $v = \tanh{a\tau}$. Ricordando che $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2}$ abbiamo:
$$\tilde{u}^\mu = \begin{pmatrix} \cosh{a\tau} \\ \sinh{a\tau} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
A questo punto poiché per definizione $\tilde{u}^\mu = \dv{\tilde{x}^\mu}{\tau}$ dove $\tilde{x}^\mu = (t(\tau), x(\tau),0,0)$ allora con la condizione al contorno $t(\tau=0)=0$ e $x(\tau=0) = 0$ abbiamo:
\begin{align*}
t(\tau) &= \frac{1}{a} \sinh{a\tau}\\
x(\tau) &= \frac{1}{a} \pqty{\cosh{a\tau}-1}
\end{align*}
Per rendere le formule simmetriche abbiamo usato delle condizioni al contorno diverse dal caso precedente.
Metrica di Rindler
Possiamo definire delle nuove coordinate adattate all’osservatore accelerato. Useremo il tempo proprio dell’osservatore $\tau$ e la posizione iniziale $\xi$. Ci sono diversi modi per ottenere lo stesso risultato, noi scegliamo
$$t(\tau,\xi) = \pqty{\frac{1}{a}+\xi} \sinh{a\tau}\\
x(\tau,\xi) = \pqty{\frac{1}{a}+\xi} \cosh{a\tau}$$
dove appunto abbiamo $t(\tau=0)=0$ e $x(\tau=0)=\xi+\frac{1}{a}$ e abbiamo rimosso il termine costante. Inserendo la trasformazione nella metrica di Minkowski otteniamo:
$$ds^2 = dt^2-dx^2 -dy^2 -dz^2= (1+a\xi)^2 d\tau^2-d\xi^2-dy^2 -dz^2$$
che è la cosiddetta metrica di Rindler.
Vale la pena notare che le coordinate di Rindler descrivono lo spaziotempo appena fuori l’orizzonte degli eventi di un buco nero di Schwarzschild. La metrica di Schwarzschild è
$$ds^2 = \pqty{1-\frac{2m}{r}} dt^2 -\pqty{1-\frac{2m}{r}}^{-1} dr^2-r^2 d\Omega^2$$
Ruotiamo le coordinate in modo da trovarci appena fuori dal punto $\theta = 0$ dell’orizzonte. In termini delle coordinate euclidee siamo in $(x ,y,2m+z)$ dove $x,y,z$ sono piccoli. Abbiamo $r^2 = x^2 + y^2 +4m^2 + 4mz + z^2 \approx 4m^2 + 4mz$. Pertanto $r \approx 2m+z$. Possiamo scrivere la componente angolare come
$$r^2 d\Omega^2 = dx^2+dy^2+dz^2 -dr^2=dx^2+dy^2+dz^2 -dz^2=dx^2+dy^2$$
Quindi Ponendo $r = 2m + z$ e tenendo i termini principali in $z$ otteniamo
$$ds^2 = \frac{z}{2m} dt^2 -\frac{2m}{z} dz^2-dx^2-dy^2$$
A questo punto possiamo definire $\rho$ tale che $d\rho = \sqrt{\frac{2m}{z}} dz$. Per ottenere una metrica equivalente a quella di Rindler ossiamo scegliere ad esempio $\rho =-4m+ 2\sqrt{2mz}$, per cui otteniamo
$$ds^2 = \pqty{1+\frac{1}{4m}\rho}^2 dt^2 -d\rho^2-dx^2-dy^2$$
L’accelerazione in questo caso è $1/4m$, che è esattamente la gravità di superficie del buco nero.