In un articolo precedente abbiamo visto il duale di Hodge, che può essere usato per esprimere gli operatori differenziali di $\mathbb{R}^3$ (gradiente, divergenza, rotore). Poiché il duale di Hodge può essere definito su qualsiasi varietà differenziale, ciò ci permette di generalizzare questi operatori differenziali a qualsiasi varietà. La definizione del duale non è però molto utile per calcolarlo in modo rapido. In questo articolo vediamo alcune utili tecniche per calcolare il duale esplicitamente.
Basi ortonormali
Il primo metodo consiste nell’utilizzare una base ortonormale invece di una base di coordinate. Ad esempio dato lo spaziotempo di Minkowski in coordinate sferiche abbiamo:
$$ds^2 = -dt^2 + dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2{\theta} d\varphi^2$$
Possiamo quindi porre $e^0 = dt$, $e^1 = dr$, $e^2 = r d\theta$, $e^3 = r \sin{\theta} d\varphi$ e la metrica diventa globalmente:
$$ds^2 = -(e^0)^2 + (e^1)^2 + (e^2)^2 + (e^3)^2$$
Questa operazione può sempre essere fatta: in genere basta diagonalizzare la metrica e poi scalare i vari componenti. Gli $e^\mu$ sono detti tetradi in geometria differenziale e relatività generale. La base $e^\mu$ non è una base di coordinate, infatti ad esempio $de^2 \neq 0$ e quindi è spesso scomoda; risulta invece utile in questo caso.
Una volta messa la metrica in forma ortonormale, possiamo calcolare il duale di Hodge con le regole solite esprimendo le forme nella base ortonormale. Ad esempio cerchiamo di calcolare il duale delle seguenti forme:
$$F = -\frac{q}{r^2} dt \wedge dr = -\frac{q}{r^2} e^0 \wedge e^1\\
B =r^2 d\theta \wedge d\varphi = \frac{1}{\sin{\theta}}e^2 \wedge e^3$$
Innanzitutto possiamo calcolare il duale come al solito. Poiché la metrica è diagonale, sappiamo che $\star F \propto e^2 \wedge e^3$ e $\star B \propto e^0 \wedge e^1$; per calcolare la costante davanti basta calcolare la norma delle forme:
$$\langle F , F \rangle = \frac{q^2}{r^4} \langle e^0 \wedge e^1 , e^0 \wedge e^1 \rangle= \frac{q^2}{r^4} \det \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{q^2}{r^4}\\
\langle B , B \rangle = \frac{1}{\sin^2{\theta}} \langle e^2 \wedge e^3 , e^2 \wedge e^3 \rangle= \frac{1}{\sin^2{\theta}}$$
Dobbiamo avere $F \wedge \star F = \langle F , F \rangle \omega$ dove $\omega = e^0 \wedge e^1 \wedge e^2 \wedge e^3$ e allo stesso modo per $B$, per cui
$$\star F = \frac{q}{r^2} e^2 \wedge e^3 = q \sin{\theta}\, d\theta \wedge d\varphi\\
\star B = \frac{1}{\sin{\theta}}e^0 \wedge e^1 = \frac{1}{\sin{\theta}}dt \wedge dr$$
Formula con il simbolo di Levi Civita
Qualche altra volta è più comodo usare una formula in termini di indici, specialmente quando la metrica non è diagonale. Abbiamo la formula seguente:
$$(\star \alpha)_{\mu_1 \ldots \mu_{n-p}} = \frac{\sqrt{\abs{\det{g}}}}{p!} \alpha^{\nu_1 \ldots \nu_p} \epsilon_{\nu_1 \ldots \nu_p\mu_1 \cdots \mu_{n-p}}$$
dove $\epsilon_{\mu_1 \cdots \mu_n}=\pm 1$ è il simbolo di Levi Civita. Ad esempio nel caso precedente abbiamo:
$$(\star F)_{23} = \frac{r^2 \sin{\theta}}{2!}F^{\alpha\beta}\epsilon_{\alpha\beta 2 3}=r^2 \sin{\theta} F^{01}=-r^2 \sin{\theta} F_{01} = q \sin{\theta}$$
che è lo stesso risultato che abbiamo ottenuto nel caso precedente. In termini di differenziali, la stessa formula è:
$$\star (dx^{\mu_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\mu_p})=\frac{\sqrt{\abs{\det{g}}}}{(n-p)!} g^{\mu_1 \nu_1} \cdots g^{\mu_p \nu_p} \epsilon_{\nu_1 \ldots \nu_p\nu_{p+1} \cdots \nu_n} dx^{\nu_{p+1}} \wedge \ldots \wedge dx^{\nu_n}$$
Formula con la forma di volume
Un’altra formula simile alla precedente coinvolge la forma di volume $\omega$. Ricordiamo che $\omega$ è proporzionale all’unica $n-$forma di uno spazio $n-$dimensionale; la normalizzazione è fissata richiedendo che $\langle \omega, \omega \rangle = \pm 1$.
Nota: alcuni scrivono $\epsilon$ invece di $\omega$ per la forma di volume, e ciò può talvolta provocare confusione con il simbolo di Levi Civita.
In generale la forma di volume può essere espressa in termini del simbolo di Levi Civita
$$\omega_{\mu_1 \cdots \mu_n} = \sqrt{\abs{\det{g}}}\epsilon_{\mu_1 \cdots \mu_n}$$
per cui la formula precedente diventa:
$$(\star \alpha)_{\mu_1 \ldots \mu_{n-p}} = \frac{1}{p!}\omega^{\nu_1 \ldots \nu_p}_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mu_1 \ldots \mu_{n-p}} \alpha_{\nu_1 \ldots \nu_p}$$
dove $\omega_{\nu_1 \ldots \nu_p \mu_1 \ldots \mu_{n-p}}$ con tutti gli indici in basso è la forma di volume, e gli indici in alto sono stati alzati usando la metrica:
$$\omega^{\nu_1 \ldots \nu_p}_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mu_1 \ldots \mu_{n-p}} = g^{\nu_1 \sigma_1}g^{\nu_2 \sigma_2}\cdots g^{\nu_p \sigma_p} \omega_{\sigma_1 \sigma_2 \ldots \sigma_p\mu_1 \ldots \mu_{n-p}}$$