Abbiamo visto la definizione pratica di forma differenziale a partire dai differenziali su $\mathbb{R}^n$. Se però lo spazio è curvo abbiamo una base di differenziali solo localmente, e ci serve quindi una definizione indipendente dal sistema di coordinate:
Definizione. Una forma differenziale è un tensore covariante completamente antisimmetrico.
Covariante significa che ha tutti gli indici in basso, mentre completamente antisimmetrico significa che è antisimmetrico rispetto allo scambio di due indici qualsiasi. Ad esempio una $2-$forma è un tensore $\omega_{\mu\nu}$ antisimmetrico rispetto allo scambio di $\mu$ e $\nu$. Più propriamente $\omega_{\mu\nu}$ sono le coordinate della forma differenziale $\omega$. In un sistema di coordinate possiamo esprimere una $p-$forma nel modo seguente:
$$\omega = \frac{1}{p!} \omega_{\mu_1 \ldots \mu_p} dx^{\mu_1} \wedge dx^{\mu_2} \wedge \cdots \wedge dx^{\mu_p}$$
dove abbiamo usato la convenzione di Einstein per la somma. Il fattoriale serve perché per l’antisimmetria di entrambi i termini nella somma otteniamo $p!$ termini identici.
Quindi il prodotto cuneo è l’antisimmetrizzazione del prodotto tensoriale (a meno di una normalizzazione):
$$(\alpha \wedge \beta)_{\mu_1 \ldots \mu_{p+q}}=\frac{(p+q)!}{p! q!} \alpha_{[\mu_1 \ldots \mu_p} \beta_{\mu_{p+1} \ldots \mu_{p+q}]}$$
dove le parentesi quadre denotano antisimmetrizzazione. Il termine $(p+q)!$ viene cancellato dal corrispondente termine nella definizione di antisimmetrizzazione. Ad esempio:
$$\alpha_{[\mu}\beta_{\nu]} = \frac{1}{2}(\alpha_\mu \beta_\nu -\alpha_\nu \beta_\mu)$$
La derivata esterna è:
$$(d\alpha)_{\mu_1 \ldots \mu_{p+1}} = (p+1) \partial_{[\mu_1}\alpha_{\mu_2 \ldots \mu_{p+1}]}$$
dove le parentesi quadre denotano di nuovo antisimmetrizzazione. In questo senso è evidente il motivo per cui $d^2=0$: le derivate parziali commutano, e quindi antisimmetrizzandole otteniamo $0$.
Orientazione
Un concetto spesso elusivo è quello di orientazione. Le forme differenziali permettono una definizione che torna spesso utile, ad esempio nella teoria dell’integrazione. In particolare l’orientazione di uno spazio $n$ dimensionale è una $n-$forma $\omega$ che non è mai nulla. Poiché non è mai nulla, non potrà cambiare segno: per cui avrà segno dappertutto positivo o negativo, e queste due scelte corrispondono alle due possibili orientazioni di uno spazio orientabile. In generale fissata un’orientazione $\omega_1$ si dice che un’altra $n-$forma $\omega_2$ definisce la stessa orientazione di $\omega_1$ per lo spazio dato se le due $n$-forme hanno lo stesso segno.
Ad esempio in $\mathbb{R}^3$ una possibile orientazione è $\omega = dx \wedge dy \wedge dz$, che è una $3-$forma mai nulla. Un’altra possibilità è $\omega = -dx \wedge dy \wedge dz$, che è l’orientazione opposta a quella definita prima. Alla stessa maniera $x dx \wedge dy \wedge dz$ non è un’orientazione perché è nulla per $x=0$, mentre $dx \wedge dy$ non è un’orientazione perché non è una $n-$forma.
Se non esiste nessuna forma del genere, lo spazio si dice non-orientabile (ad esempio il nastro di Mobius, ma non entriamo nei dettagli).
Nel prossimo articolo faremo ulteriori progressi.